白話解析 RSA 加密算法的數學原理_Allbridge

從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。前不久Jason同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解Web3的朋友們上了5節硬核的數學課。從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

大數無法分解

3*7算出21容易嗎？容易。反過來，21是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算3*7麻煩。

同理967*379=366493容易。反過來，366493是哪兩個數乘積？難多了。

隨著乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來，把這個200位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到80位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的RSA加密算法。

數據：昨日比特幣鏈上日交易筆數達66.3萬筆，創歷史新高:5月9日消息，數據顯示，伴隨Ordinals的出現，比特幣鏈上交易的數量最近出現了驚人的增長，自5月1日達到創紀錄的60.5萬筆后，昨日鏈上單日交易筆數再創新高，達到66.3萬筆。相較2022年的日均25萬筆，當前的日交易筆數增長了超2倍。[2023/5/9 14:51:30]

n進制取個位

這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以n以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做?n進制取個位。比如n=8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那么15這個數本來八進制就是17，只取個位，就是?7。所以，我們規定，15在八進制個位模式下，就等于7。同樣，23，31等，在8進制取個位下，都等于7。這個「等于」，不是絕對數字的相等，而是經過了?n進制取個位，我們用?≡?表示這種特殊的等于。

這樣，如果n是4萬公里的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走?1萬公里，和向西走?3萬公里結果是一樣的，甚至向西走?7萬，11萬，15萬公里的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以4萬進制取個位，1萬?≡?-7萬?≡-11萬?≡-15萬。注意，畢竟走7萬公里和走11萬公里不相等(=?)，但是在地球赤道上走，他們的效果相等?(?≡?)。

Allbridge公布攻擊事件進展：若黑客歸還被盜資產，將向其提供白帽賞金:4月3日消息，跨鏈橋Allbridge在推特上發布關于黑客攻擊事件的進展：

1.我們對黑客事件的調查仍在繼續，目前正在與合作伙伴和執法部門合作，以查明黑客的身份。此外，我們還宣布了一筆白帽賞金以換取被盜資產返還；

2.流動性供應已經重新開放，并將持續到本周末。在此期間，LP將能夠從資金池中撤回其資產；

3.本周末，流動性池將關閉，我們將使用所有可用的工具來創建一個恢復池，以補償那些受攻擊影響的用戶；

4.如果這些資金被黑客歸還或被當局沒收，它們將被存入同一個基金。

5.與此同時，我們正在為受黑客攻擊影響的用戶準備一份提交表格，以供這些用戶分享有關損失的信息。

此前消息，4月2日，跨鏈橋Allbridge遭到黑客攻擊，損失約57萬美元（其中包括282,889 BUSD 和290,868 USDT）。

之后BNB Chain表示，通過鏈上分析已確定Allbridge攻擊者，正在協助Allbridge團隊進行資金回收。[2023/4/4 13:42:45]

例子：比如在?20?進制取個位下，3*7?的結果就是?1?。

路透社：保險公司拒絕或限制對FTX有敞口的客戶提供保險:12月19日消息，據外媒報道，幾位市場參與者表示，保險公司拒絕或限制對破產的加密交易所FTX有敞口的客戶提供保險，這使得數字貨幣交易員和交易所無法為黑客攻擊、盜竊或訴訟帶來的任何損失投保。

其中，倫敦勞合社(SOLYD.UL)和百慕大保險市場的專家要求加密公司提高其對FTX的敞口透明度。經紀商Hugh Wood Canada Ltd總裁Kyle Nichols表示，保險公司要求客戶填寫一份調查問卷，詢問他們是否投資了FTX，或是否在該交易所擁有資產。

保險公司還提議設置保單排除條款，拒絕對因FTX倒閉而產生的任何索賠進行承保，這些條款涵蓋數字資產保護以及從事加密貨幣交易的公司董事和高管的個人責任。保險公司和經紀人表示，排除條款對保險公司來說可能是一種故障保險，并將使尋求保險的公司更加困難。（路透社）[2022/12/19 21:53:31]

連著乘兩個數就是它本身

這有啥用呢？神奇的事情在于，在?20進制取個位下，任何數乘以3再乘以7，就相當于乘以?1，就是這個數本身！

比如?12*3?=36；36%20=?16;?16*7?=112;112%20=?12

SBF：破產前杠桿不是約50億美元，而是約130億美元:金色財經報道，FTX創始人SBF在推特發文稱，一個月前FTX是一家有價值的企業。FTX的日交易量約為100億至150億美元，年收入約為10億美元，股權價值高達400億美元。FTX被譽為高效經營公司的典范，是硅谷的寵兒。但過于自信和粗心大意導致問題不斷醞釀。隨后幾天內發生了歷史性崩盤，大多數相關資產暴跌超過50%。與此同時，發生了擠兌，每天大約有25%的客戶資產被取出。杠桿高達130億美元，而不是此前認為的50億美元。高杠桿、資金擠兌、資產價值的全面崩盤突然同時發生。[2022/11/17 13:15:02]

變回原來了。神奇嗎？

在?20進制取個位下，你把一個數乘以3，我不用除以3，而是繼續乘以7，就是原來那個數。不僅僅是7，我把乘3的數字乘以67，127，或者187。。。。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。

這就使得，如果兩個數在一個?n進制取個位下乘積為1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？

比如數字大一點，在366492進制取個位下，任何數乘以?967得到的數再乘以379，就是它本身。

公鑰和密鑰

中國支付清算協會：推廣數字人民幣新場景:金色財經報道，據中國支付清算協會微信官方公眾號，6月6日，中國支付清算協會發布關于助力穩住經濟的倡議書，其中指出為進一步貫徹《國務院關于印發扎實穩住經濟一攬子政策措施的通知》，中國支付清算協會倡議各會員單位助力消費提升。做好非接支付產品和服務的開發，協助發放消費券、優惠券等，協助拓展消費新業態，推廣數字人民幣新場景。[2022/6/7 4:07:39]

如果我把?e=967?當做公鑰，d=379?當做密鑰，我只需要告訴別人這兩個數字，別人乘積以后交給我，我再乘以d，然后。。。。

不過有一個小問題，如果給出了這兩個數，別人除以e不就得到了我的秘鑰d嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到n進制數，還有公鑰e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用e加密，我可以用私鑰d解密不就好了？

歐拉定理

我們引入?φ(n)。它的定義可厲害了，是「小于?n?的正整數中和?n?互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果n是兩個素數p,q的乘積的話，?φ(n)=(p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大秘密，居然在?n進制取個位下，如果m和n互為質數，m的φ(n)次方居然等于1：

m^?φ(n)?≡?1

兩邊都取k次方：

m^?(k*?φ(n))?≡?1

兩邊都乘以m：

m^?(k*?φ(n)+1)?≡?m

k*?φ(n)+1?是啥意思？就是這是一個「除以??φ(n)余數為1」的數字。也就是說，只要找到e*d這兩個數，使得他們的乘積除以?φ(n)?余數為1就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這里先略過。我們一般常常把e固定的設為65537，然后就可以找到一個滿足的d。

最后，也就是最驚艷的一步，如果我們能夠找到這樣的e,d，我們把?e?和?n?告訴整個世界，讓他們在?n進制取個位下，把要加密的數字?m?取?e?次方發給我，我對這個數再進行d次方，我就能得到m。

(m?^e)^?d?≡?m

重新梳理

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說，如果我能無論用什么方法，找到一個進制n，在這個?n進制取個位下，能夠找到兩個數字e和d，e公開給整個世界，d留給自己，同時還能讓任何數字m的e次方的d次方還等于原來這個m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等于原來的數字一樣？

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于，e和n給出了，d也就給出了。

在這個新的算法中，e給出了。n給出了，但e*d??≡?1的進制，不是簡單地?n，而是和n同源，但是不同的?φ(n)?。正因為進制改了，所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法，而借用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。

從?n?能不能算出來??φ(n)?呢？如果有能力分解n當然?φ(n)?唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從n能不能輕易地找到p和q呢？根據最早的大數不可分解，要想找到100個太陽燒掉都不夠用，p和q好像是腳手架，算出來n，算出來?φ(n)就扔掉了。?那么??φ(n)?就是一個秘密。如果?φ(n)?是個秘密，有了e也找不到d。

所以，整個算法是無比精巧的安全。

舉例子

我們找兩個腳手架數字：p=2,q=7，算出n=2*7=?14,??φ(n)?=?(2-1)*(7-1)=?6?。那兩個腳手架數字p,q在算出n和?φ(n)后就退休了。找在?6進制取個位下，e*d?≡?1好辦，e=5,d=11就行。

這樣，公布給全世界的數字就是(e=5,n=14)，保留給自己的就是d=11。φ(n)千萬也不能告訴任何人。φ(n)?就如同總統，n如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下，在?14?進制個位模式下，如果要傳遞的數字?m=?2，別人把m^e算出來，就是2^?5=?32?=2*?14?+4?≡?4

現在，4就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是11。我拿到以后，算4的11次方，4^11?≡?4,194,304%14?≡?2?，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認為別人從n=14無法分解成2*7，否則就全露餡了。

14肉眼可以看出等于2*7。

這個數n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559?

是p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。?p和q如同兩位門神，死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從p，q算出?φ(n)?，以及e，d，卻都是舉手之勞。

如果知道n的組成是p，q，我們按照上面的算法可以選出來e和d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說，這個游戲，任何人要把一個數字m傳給我，只需要在n進制取個位下，對它進行65537次冪，我再把它進行d次冪，我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法，就是RSA加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

原文標題：《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文：王建碩

來源：ForesightNews

來源：金色財經

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