從 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA_CUR

作者介紹：

0xmc@0xreviews:機制審計、產品設計、密碼經濟學獨立研究員。

0xjezex@0xreviews:代幣經濟學獨立研究員，初級Solidity工程師，倫敦帝國理工學院金融科技碩士生。

0xstan@0xreviews:獨立開發者，DappLearning核心貢獻者。

paco@perp.com:Solidity開發者、安全研究員、DeFi愛好者。

前言

Curve穩定幣最難的部分是LLAMMA。LLAMMA參考了Uniswapv3中的一些原則。但是，白皮書中的價格與Uniswapv3白皮書中的算法不同。我們將統一這兩個項目，并嘗試了解CurveCEO是如何設計這個演算法。

用Uniswapv3作為參考

本文中價格的定義與Uniswapv3互為倒數。因此，我們修改了Uniswapv3白皮書中的公式，讓它與本文保持一致。簡而言之，LLAMMA試圖讓Uniswapv3中的一切都變得動態，以便為crvUSD債務人和清算人提供更適當的價格。

恒定乘積公式(ConstantProductFomula)比較

Uniswapv3白皮書中的公式(2.2)：

Chainge正式接入OKX Web3錢包，其TVL升至Dexes賽道前10:5月25日消息，據Chainge Finance官網顯示，Chainge Finance現已正式接入OKX Web3錢包。作為全鏈去中心化DeFi應用聚合器，Chainge開創了跨鏈漫游功能。據DefiLlama數據顯示，其目前在Dexes賽道的TVL已經進入前10行列，而所聚合的可供交易總流動性已高達350億美元。

據了解，OKX Web3錢包是最全面的異構多鏈錢包，已支持近60公鏈，App、插件、網頁三端統一，涵蓋錢包、DEX、賺幣、NFT市場、DApp探索5大板塊。此外，OKX Web3錢包還支持Ordinals市場、創建MPC錢包、兌換Gas、iCloud/Google Drive備份助記詞、自定義網絡、連接硬件錢包等便捷功能。[2023/5/25 10:39:09]

圖一：Uniswapv3虛擬流動模擬

Curve穩定幣白皮書中的公式(1)：

DefiLlama推出ARB空投一鍵領取交易功能:3月23日消息，鏈上數據分析網站Defi Llama推出ARB空投一鍵領取交易功能，用戶可以預先進行合約授權、申領ARB空投并一鍵賣出所有ARB，其中將通過Llama Zip兌換節省Gas成本。

該頁面已針對高達1.1萬枚ARB的小額交易進行了優化，對于更大量的交易建議前往swap頁面實現最佳交易執行。[2023/3/23 13:21:24]

圖二:有外部價格來源的AMM

在這裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

而對應關係為：

對應的恒定乘積公式為：

而在這之間：

流動性計算公式對應

Uniswapv3白皮書中的公式(6.7)：

IMF總裁：將下調明年全球經濟增長預期:金色財經報道，國際貨幣基金組織（IMF）官網發布了IMF總裁克里斯塔利娜?格奧爾基耶娃在喬治城大學的演講《在一個更加脆弱的世界中勇敢前行》，她在演講中表示，“IMF已經三次下調了經濟增速預測，2022年和2023年的預測值僅為3.2%和2.9%。正如大家將在下周更新的《世界經濟展望》中看到的那樣，我們將下調明年的經濟增速預期。”格奧爾基耶娃指出，新興市場和發展中經濟體面臨著美元走強、借貸成本上升和資本流出的三重打擊，IMF將重點關注三大優先事項：堅決遏制通脹，制定負責任的財政政策，共同支持新興市場和發展中經濟體。[2022/10/8 12:49:21]

由于它們的價格定義之間存在倒數關係，對應的公式為：

此公式的一個具體應用是：

平方展開可以得到：

從上面的公式我們很容易的可以了解，當y0保持不變，Pcd和Pcu數值越接近，相對應的流動性I則越大。

數據：4,000枚BTC從Xapo轉移至未知錢包:金色財經報道，據Whale Alert數據顯示，4,000枚BTC（價值93,435,887美元）從Xapo轉移至未知錢包。[2022/8/19 12:35:00]

換句話說：

流動性不可能是無限的,在UniswapV3中對應最小的tick會限制L的大小。

由此可以推斷在LLAMMA中，我們還需要定義一個指標來衡量價格之間的最小差異，來繼續Uniswapv3和Curve的類推。

對應最小差價

從A的定義中可以看出?,當p↓和p↑越接近時，A則越大，流動性集中度越高：

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被預設。因此，tickSpacing決定了LP分配流動性的最低價格范圍。tickSpacing越小，價格范圍越窄、越精確。在Uniswapv3中，不同的費用等級決定了不同的tickSpacing。

數字資產銀行SEBA Bank計劃將亞洲員工人數增加一倍以上:7月25日消息，盡管最近加密資產價格暴跌，但由瑞士寶盛集團（Julius Baer Group Ltd.）支持、專注于數字資產的在線銀行SEBA Bank AG計劃將其亞洲員工人數增加一倍以上。

該行正尋求將中國香港和新加坡的員工人數從目前約7人增加到20人以上，并增加法律、合規和關系經理部門的員工。SEBA亞洲企業發展主管Eugene Sun表示，SEBA正尋求在這兩個地方獲得許可證。

據悉，今年早些時候，SEBA Bank獲得1.1億瑞士法郎（約合1.19億美元）融資，Julius Baer和DeFi Technologies參投。（彭博社）[2022/7/25 2:36:01]

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麼多tickSpacing。由于LLAMMA僅有ETH-crvUSD,因此只需要讓每一個tickSpacing=100basepoint。?

來自Uniswapv3的公式(6.1)：

在LLAMMA中，A=100，來自Curve穩定幣白皮書的公式(11)：

設置n=-i,A=100,我們會得到：

設計Pcd和Pcu

我們希望LLAMMA具有以下屬性：當ETH價格上漲時，礦池購買ETH。當ETH下跌時，礦池出售ETH。在這樣的機制下，我們把Pcd和Pcu定義為Po的函數并且比線性函數更陡峭，因此它們的增長率會比Po更快。同時從圖中可以看出兩條曲線Pcu和Pcd分別通過兩點(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。滿足以上要求的Pcd和Pcu其實有很多曲線。通用公式為：

當m<n

讓我們從最簡單的例子開始：

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

然后f2可以計算為：

不難發現f2在這種假設下很難理解和計算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函數:

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

重新計算f2：

可以看出，當?Pcu和Pcd是Po的三次函數，整個數學形式就簡單多了。去掉了平方根項，計算方便多了。如果接受更高的訂單，則AMM的價格和Po將相差很大，因此購買ETH的成本會更高，而導致更大的清算損失。總之，把Pcu和Pcd定義為Po的三次函數是一個更好的選擇。

其他參數的推導

Pcu和Pcd是關于Po的三次函數,取特別數值Po=P↑,不難得到Y=Y0和X=0，于是：

鑒于I的公式，我們可以計算f和g：

在這邊，我們最終得到完整的恒定乘積公式：

將上方公式轉化為Y0二次方程式：

用一個未知數的二次方程求解Y0：

如果價格變動的夠慢讓預言機價格Po完全有能力遵循它，給定X和Y，使用Uniswapv3的計算公式，是有可能計算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最終將處于的區間內：

參考出處：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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