技術干貨 | 理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof I_LLE

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：1.用于rangeproof；2.用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。

Rangeproof

1.?預備知識

aL：表示向量{a1,a2……an}

2n：表示向量{20,21…2n-1}

<a,b>：表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……an*bn}，結果是一個向量

2.?證明

Alice想要證明

v?

=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=grhv^v?}

public-x??????????witness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

Zipmex由于技術問題將交易錢包維護期延長至7月22日:7月21日消息，加密貨幣交易所Zipmex更新稱，由于技術問題將交易錢包（Trade Wallet）的維護期延長至2022年7月22日（GMT+7）。Zipmex今日下午表示，會于2022年7月21日19:00重新為交易錢包（Trade Wallet）啟用提現和存款功能，交易功能將繼續保持禁用，直至另行通知。另外，Zipmex正在探索籌款、法律訴訟和重組等方案。[2022/7/21 2:29:42]

V=grhv????(1)

<aL,2n>=v???(2)

aLoaR=0n??(3)

aR=aL-1n???(4)

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)(4)確保了a

L元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.?2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n。

正元數據董事長：建議在“數字亞運”建設中應用元宇宙技術:3月10日消息，近日，由元宇宙三十人論壇主辦的“預見未來：2022元宇宙應用場景”閉門研討會在杭州召開。浙江正元數據科技有限公司董事長張旭光在會上表示，建議在杭州的“數字亞運”建設中體現元宇宙技術應用，推出虛擬亞運會、交互性虛擬賽事、亞運會吉祥物NFT數字藏品、虛擬數字人等創新應用，多重展現“數智杭州、宜居天堂”。（中國證券網）[2022/3/10 13:49:01]

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

1.驗證者隨機選取一個數y發送給證明者；

2.證明者要證明：

<aL,2n>=v(5)

<aL,aRoyn>=0???????(6)

<aL-1n-aR,yn>=0???(7)

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了a

L元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

1.驗證者隨機選取一個數z發送給證明者：

2.證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：

z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)

動態 | 海南成立國際知識產權交易中心 研報建議引進區塊鏈技術:據科技日報今日消息，12月28日，海南成立國際知識產權交易中心。海南國際知識產權交易中心發布《關于在海南試行知識產權定向稅收優惠及人民幣自由匯兌政策的建議》等研究報告。研究報告建議指出，引進區塊鏈技術，在知識產權登記、交易、清算、存證等方面探索適合自貿港經濟發展的創新模式。[2019/12/29]

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積

4.?三個點積優化成1個點積

=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

聲音 | 張禮立：以區塊鏈等技術為基礎工具 推動數字轉型:據經濟日報消息，1月25日，上海市海外經濟技術促進會秘書長張禮立撰文指出，實體經濟是互聯網經濟的基礎，數字轉型是互聯網經濟的落地途徑，其重點在于借助數字化共享平臺，以大數據、物聯網、區塊鏈等技術為基礎工具，對商業全過程的數據進行提煉。[2019/1/25]

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)

動態 | 廣州市局區塊鏈技術應用聯合實驗室成立:2018年12月21日，由廣州市局、北京火幣天下網絡技術有限公司、北京大學金融科技創新實驗室聯合成立的“廣州局區塊鏈技術應用聯合實驗室”，在廣州市局刑警支隊辦公大樓正式揭牌，實驗室宗旨是深入探索區塊鏈在系統領域的應用。廣州局副局長喬雷、火幣集團首席安全官吳樹鵬、北京大學科技創新實驗室副主任秦濤等參加了揭牌儀式。[2018/12/21]

=>?令

L=?aL-z*1n

R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n

δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>

5.驗證：

1.證明者把L/R/V發送給驗證者；

2.驗證者事先算好δ

3.驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n>=v算出v

4.驗證者根據L,R,v,δ驗證等式<L,R>=z2*v+δ

因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.?一個零知識證明協議

由于L,R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子s

L

、s

R來隱藏a

L，a

R。如公式(10)(11)所示：

l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)

r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)

此時，定義公式(12)

t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)

可以看出系數t

0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)

r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n

需要校驗：

P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n

=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n

=?hμgl(h`)r

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0+t1x+t2x2

需要校驗：

=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2

=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2

=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2

=>當且僅當t和τxwelle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共{

l/r/t/

τ

x

/

μ

/T1/T2/A/S}個元素給驗證者，總共2n+3個Z

p元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))

附錄

1.Bulletproofs論文：

chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf

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