Uni V3的數學原理_SWAP

前言——UniswapV3放出了很多feature，然而其最為本質的迭代依然是對AMM數學曲線的再思考。在過去的兩年中，我們也躬身入局AMM領域，認為AMM最基本的曲線形態已經定型，后續的創新應該會在AMM基本曲線形態的基礎上實現“策略化”，于是我們創造了MOV超導V2。而如今我們看到了V3，突然有一種“久別重逢”的感覺，在尋找這種感覺之余，我們也希望為大家呈現AMM最為深刻的思考路程。因為AMM的時代將會比想象得更為恢弘壯闊。

讓我們直切正題，UniswapV3最耀眼的創新——在AMM上實現集中流動性。

V3給出了一個虛擬儲備金的概念，舉例講解：

在傳統V2中，Alice一次性將500,000DAI和333.33ETH注入儲備池，總價值$1m，提供全區間

(0,\infty)

的流動性，但實際上ETH的價格波動范圍在很長一段時間內是有局部范圍的，這種為全區間無私提供流動性的行為大大浪費了資本利用效率。

所謂的集中流動性便是讓LP自主選擇波動范圍，只為該范圍提供局部流動性，例如Bob認為未來一段時間內ETH的價格區間在

(1000,2250)

以太坊社區提案將Gelato Network內部DeFi用例G-UNI衍生為獨立項目:3月14日消息，以太坊社區中的一份提案提議將以太坊智能合約自動執行工具 Gelato Network 的內部 DeFi 用例 G-UNI 衍生為獨立項目。該提案提出：G-UNI 是由 Gelato 核心開發人員構建的內部 DeFi 應用程序，用于展示 Gelato 自動化基礎設施的功能。但截止目前，G-UNI 的 TVL 已經超過 5 億美元，是迄今為止 Uniswap v3 上最大的 LP，且許多主要的 DeFi 項目（MakerDAO、Aave、Fei、Frax、Angle 等）已經在使用該產品進行流動性挖掘。

提案中提到，一旦被通過，G-UNI 將更名為 Arrakis Finance，并將發布治理 Token SPICE。[2022/3/14 13:55:38]

，并且如果未來真的是在這個區間波動，Bob希望自己獲得的收益能夠跟百萬富豪Alice一樣多，于是Bob一開始只需要投入91,751DAI和61.17ETH，總價值$183,500，遠遠小于Alice實際投入的資金。我們對照下圖來解釋其中的道理。

UNI突破25美元關口:歐易OKEx數據顯示，UNI短線上漲，突破25美元關口，現報25.017美元，日內跌幅達到5.47%，行情波動較大，請做好風險控制。[2021/2/24 17:46:43]

則

即Bob所獲得的虛擬曲線幾乎跟Alice一樣。

上述計算過程是一種反證法，實際上用戶Bob會向系統算法提出自己的需求輸入，包括預測價格區間范圍、當前價格點、最終想要獲得的一個virtualreserves規模。有了虛擬曲線表達式的確定，可以輕松算出a、b、c三個確定的點坐標，進而便算出?

x_{real}=61.17

以及

y_{real}=91751

。

同時，也可以看到，一旦未來價格越出了區間，Bob其中一種資產將徹底消失。

UNI 24小時資金凈流出1.12億元人民幣:金色財經監測數據顯示，加密貨幣市場24小時資金凈流出排名前三分別為[2020/9/27]

全局狀態中有

feeGrowthGlobal0(f_{g},0)和feeGrowthGlobal1(f_{g},1)

—

f_{g}

，用來從全局角度統計總的手續費收益。例如，當在一個tick內發生了一筆交易，系統會計算出該筆交易產生的手續費：

f_{a}

變量是對所有高于itick的區間的fee統計，

f_{b}

是對所有低于itick的區間的fee統計，因此在上述總公式中，我們從全局總累計手續費

f_{g}

中減去所有低于下界

i_{l}

的累計手續費，再減去所有高于上界

i_{u}

警告：出現假冒Uniswap的網站 已有用戶被騙16枚ETH:9月16日，據社群反饋，用戶發現假冒的Uniswap官網，該網站頁面與Uniswap網站完全一致，但域名不同。據反饋已有用戶被騙16枚ETH。（區塊律動BlockBeats）[2020/9/16]

的累計手續費，便是

(i_{l},i_{u})

?之間的累計手續費。

f_{o}

可以理解為一個計算單元，用于累積截止到

i

?tick的手續費，在它的初始化過程中，我們約定如下：

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再來看

f_{a}

的計算，分成了兩段，可以理解為——

如果當前tick等于i或者高于i，此時從全局總手續費

f_{g}

中減去“累積到itick”的手續費

f_{o}(i)

，剩下的便是對所有高于itick的區間的fee統計；

Uniswap過去24h交易量接近4500萬美元:去中心化交易協議Uniswap創始人HaydenAdams發推稱，過去24小時，該平臺的交易量接近4500萬美元，環比增加64.05%，LP費用為13.5萬美元。另外，Uniswap的年成交量為164億美元，年度LP費用為4930萬美元。[2020/7/14]

但如果當前tick還未抵達i，此時根據對

f_{o}

的初始化定義為0，則所有高于itick的區間的fee統計尚未產生，為0。

同樣對于

f_{b}

——

如果當前tick抵達或者超過了i，

f_{o}(i)

表示累計到i的手續費，也即對所有低于itick的區間的fee統計；

如果當前tick還未抵達i，對所有低于itick的區間的fee統計值即為當前的全局變量

f_{g}

。

通俗來概括，系統算法要統計某一個range內累計的手續費，

如果當前tick已經處于range內部，即

i_{l}\leqi_{c}<i_{u}

，只需要從全局手續費

f_{g}

減去所有低于

i_{l}

組成的range累計的手續費；

如果當前tick不處于range內部，且低于下界

i_{l}

，說明尚未在

(i_{l},i_{u})

區間內產生交易，也就未產生手續費，因此該range內累計量為0；

如果當前tick不處于range內部，且高于上界

i_{u}

，需要從全局總量中分別去除“兩頭”各自的累計量，即從全局

f_{g}

中減去所有低于

i_{l}

區間累計量，再減去“從

i_{u}

到當前tick區間累計量”。

UniV3計算手續費的過程是一種從微觀走向宏觀的思想，它將空間劃分成離散的，每一個時間刻度只會在一個離散空間上產生交易，從而產生手續費，每一個微觀tick都在各自記錄著自己從最低tick到自身這段區間內的累計手續費總和，然后供上述公式不斷調用，以計算各種宏觀結果。

UniV3已經改變了傳統AMM對LP行為的設定，也不再基于全局流動性和份額來為每一個LP計算手續費收益。對V3來講，它只關注在每一個tick里存在多少“虛擬”流動性，以及這些虛擬流動性產生了多少手續費，算得單位虛擬流動性對應的手續費值；在這個時空之下，我們再把視角切到具體每一個LP上，對于任何LP，都會存在一個“開倉”的區間設定，他在自己設定的區間提供了虛擬流動性，可能是一個tick，也可能是連續多個tick，從最簡單的“一個tick”角度解釋，系統會記得同一時空下每一個LP在此tick注入的虛擬流動性值，并為他們確定出一個比例，以此分得該tick內所有手續費累計。

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在實際情況中，LP們還會存在復雜的行為，比如注入/退出的時間紛雜、選擇的range/tick紛雜。但UniV3的大道至簡之處正是利用全局計算來屏蔽掉單個LP視角，只關心ticks視角和Position視角。在確定好上述所述的一系列全局狀態變量的定義后，認真記錄好每一筆swap交易在ticks中發生的情況，同時只記錄每個tick內虛擬流動性的大小，以此為根本去提供swap交易公式以及swap后手續費如何分配給參與該tick的所有LP們。LP的復雜行為體現在空間的不連續性和時間的不統一性兩方面，對于時間不統一性，UniV3還會引入Position這一級別的全局變量為每一個身份記錄下其對range/tick加入/退出時手續費的統計，確保后來的LP不會參與到前序LP們已經累計的收益分配。

如果總結來講，tick-level是對空間上發生的統計，確保起點一致的LP們fee分配，而Position-level是對時間上發生的統計，確保不同起點的LP們fee累計起點不一樣。建議實現者深入V3代碼，才能真正獲得安全計算法。

最后，UniV3過于復雜，但大道至簡，即便去模仿，模仿者依然需要下功夫深刻了解其“微積分”思維。這篇文章只選擇了fee這一個角度呈現UniV3的“數學原理”，也是其實現集中流動性的核心邏輯。而在數學之外，我們有更多驚喜的“哲學意義”發現與大家分享，例如LPtoken的進化、NFT其實并不只屬于藝術領域、V3會存在一個策略博弈、V3對基金池/合成資產的啟示等等，當然也包括與MOV超導V2的“心有靈犀”——AMM的本質是連續性的無限網格，UniV3是在這個無限網格基礎之上再實現了微觀無限網格，是“無數網格機器人的疊加”，MOV超導V2則是在無限網格基礎之上進行了更為宏觀的無限網格，是超級網格。請期待下一篇《UniV3的自然哲學》。

作者：比原鏈研究院

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