深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理_ETH

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。

何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1

在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

SBF：尚未對競標Celsius的可能性進行深入研究:10月12日消息，在 DC 金融科技周上，SBF 表示，我們可能會或可能不會最終參與 Celsius 的破產事件，但我認為我們已經做出了目前會采取的大部分舉措，Celsius 仍處于排他期，該公司可能會提出自己的重組計劃，一旦失效將面臨拍賣。此前有消息稱，SBF 對參與 Celsius 競拍感興趣。（The Block）[2022/10/12 10:32:01]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。

在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=k

UniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

由于為資產添加了杠桿，使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍內，一組較小的儲備x、y能夠充當更大的儲備x+x'、y+y'。

姚前：區塊鏈技術值得數據跨境流動及其監管各方深入研究:《中國金融》2020年第22期，中國證監會科技監管局局長姚前刊文《數據跨境流動的制度建設與技術支撐》表示，支付標記化技術將個人數據的“匿名化”交由可信第三方負責，而區塊鏈技術則創造了用戶完全自主可控的數據隱私保護新思路。用戶的私鑰可以本地生成，通過公鑰計算發布有效的賬戶地址，從而隔斷賬戶地址和賬戶持有人真實身份的關聯。通過控制私鑰，用戶可以在區塊鏈上自主完成交易，雖然在區塊鏈網絡上能夠看到每一筆交易的細節，但無法對應到現實世界中的具體某個人。區塊鏈技術從根本上打破中心化模式下數據控制者對數據的天然壟斷，賦予用戶真正的數據隱私保護權。區塊鏈技術還可與先進密碼學技術結合，發展出各類隱私保護方案。比如，利用基于環簽名、群簽名等密碼學方案保護簽名方身份；采用高效的同態加密方案實現密文的多方處理，隱藏用戶交易金額等敏感信息；采用零知識證明方案，使交易數據能被審查和驗證，但又不能被真實探知。區塊鏈技術這一自主可控的隱私保護新思路，值得數據跨境流動及其監管各方深入研究。[2020/11/24 21:56:04]

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬AMM曲線。在實際交易曲線中，下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在B點或C點時，處于強勢的資產將被損耗為0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

動態 | 國網陜西電力深入研究比特幣反竊電案例 提升員工查處效率:據中國電力網消息，12月13日，陜西省廳與國網陜西省電力公司舉行簽字儀式，正式出臺《陜西省警電部門防范和打擊涉電違法犯罪合作機制》。據悉，國網陜西電力研究反竊電新設備、新技術，對竊電設備和案例開展分析和現場檢測。該公司深入學習分析典型比特幣反竊電案例，掌握比特幣案例中的新型竊電類型、查處方法等；結合應用反竊電監測終端、智能化反竊電現場作業和取證設備，提升基層員工的技術水平和查處效率。[2019/12/21]

如下圖3：

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線

根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2

對其開根號，即有

而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：

根據式3，對其取平方根，即有：

聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：

同理可消去y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。

聲音 | 中國平安：深入開展人工智能、區塊鏈、云三大核心技術的研發與應用:中國平安（601318）昨日發布了即將在年度股東大會及H股類別股東大會上的決議資料，其中包括《公司2019-2021年發展規劃》，規劃在發展措施中指出，公司持續夯實基礎，深入開展人工智能、區塊鏈、云三大核心技術的研發與應用，深度賦能核心業務的客戶經營、渠道管理、客戶服務、風險管控等方面，推動業務價值提升和創新公司孵化。[2019/3/29]

計算虛擬資產(x'/y')

圖4虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。

也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。

根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

同理，我們計算C點，此時用戶提供的y資產由于在實際中已全部損耗，即有y=0，剩余的y均為虛擬出來的，即y'。則有

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

工信部于佳寧：深入理解區塊鏈，要從兩個層次來看:近日，工業和信息化部信息中心工業經濟研究所所長，中國計算機學會區塊鏈專委會委員于佳寧在接受《人民創投·區塊鏈》采訪時表示，區塊鏈有兩個層次的含義：第一個層次強調技術層面創新，是一種分布式、不可篡改的數據庫技術。這項新技術有力擴展了數據庫技術的使用場景和應用范圍，使得數據庫技術在“弱信任”的環境中也可以應用。第二個層次強調模式層面的創新，實際上是一種新型獨立數字資產載體，可以助力實現資產的數字化。[2018/5/23]

于是，我們得到完整UniswapV3的AMM曲線，見式9：

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

注：下圖摘自UniswapV3白皮書，區間為，任意一點被選擇為c

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線

隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdams

UniswapV3--添加流動性

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。

當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：

再通過△L計算△y:

于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。

UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

將根號后的起始價格P和結束價格P'帶入，可以計算得到△y≈151.09，而△x≈1.689。

若Swap的資產假設該流動性提供者按照L比例劃分了37.5%，于是該流動性提供者分攤x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。

流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。

UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。

設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得dx≈1.3724,dy≈122.76，即套利者給了122.76個DAI，換走了1.3724個ETH。池子-1.3724個ETH，+122.76個DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%

具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。

無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。

因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

參考

UniswapV3白皮書

UniswapV3新特性解析

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