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用小學數學知識理解 RSA 加密算法的數學原理_PEND

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從自然數開始,一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。

原文標題:《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文:王建碩

前不久Jason同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解Web3的朋友們上了5節硬核的數學課。從自然數開始,一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。我再回顧一下,嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

大數無法分解

3*7算出21容易嗎?容易。反過來,21是哪兩個數的乘積?也不難,但肯定比算3*7麻煩。

同理967*379=366493容易。反過來,366493是哪兩個數乘積?難多了。

隨著乘積的不斷變大,算乘法的難度略微增大,算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘,手工算不容易,但對計算機來說不難,結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來,把這個200位的數字分解?基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了,光從一數到80位的數字,按照現在的計算水平,就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以,簡單結論是,超級大的數字做分解不可能。

幣安創新區將于7月3日18:00上線Pendle(PENDLE):7月3日消息,據官方公告,幣安創新區將于7月3日18:00(東八區時間)上線Pendle(PENDLE), 并開放PENDLE/BTC、PENDLE/USDT、PENDLE/TUSD現貨交易對。

PENDLE充值通道現已開放 。PENDLE提現預計于7月4日18:00(東八區時間)開放。[2023/7/3 22:14:45]

就利用這個簡單的原理,加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理,就是一個精妙絕倫的RSA加密算法。

n進制取個位

這個東西的數學名稱叫「取模」,就是算「一個數除以n以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念,叫做?n進制取個位。比如n=8,八進制下只取個位,超過的十、百、千位數就直接扔掉,那么15這個數本來八進制就是17,只取個位,就是?7。所以,我們規定,15在八進制個位模式下,就等于7。同樣,23,31等,在8進制取個位下,都等于7。這個「等于」,不是絕對數字的相等,而是經過了?n進制取個位,我們用?≡?表示這種特殊的等于。

這樣,如果n是4萬公里的話,數字的世界變成像地球一樣,是一個循環。在赤道上可以向東走?1萬公里,和向西走?3萬公里結果是一樣的,甚至向西走?7萬,11萬,15萬公里的終點是一樣的,就是一圈一圈的轉就是了。所以4萬進制取個位,1萬?≡?-7萬?≡-11萬?≡-15萬。注意,畢竟走7萬公里和走11萬公里不相等(=?),但是在地球赤道上走,他們的效果相等?(?≡?)。

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根據 The Block Research 的數據,所謂的比特幣年化波動率跟蹤過去 30 天價格每日百分比變化的標準差,目前約為 32%。鑒于該資產的歷史平均價格波動率為 71%,這一數字非常低。[2023/6/3 11:55:22]

例子:比如在?20?進制取個位下,3*7?的結果就是?1?。

連著乘兩個數就是它本身

這有啥用呢?神奇的事情在于,在?20進制取個位下,任何數乘以3再乘以7,就相當于乘以?1,就是這個數本身!

比如?12*3?=36;36%20=?16;?16*7?=112;112%20=?12

變回原來了。神奇嗎?

在?20進制取個位下,你把一個數乘以3,我不用除以3,而是繼續乘以7,就是原來那個數。不僅僅是7,我把乘3的數字乘以67,127,或者187。。。。它都會回到原來那個數,只是轉的圈數多了些。

Andrew Kang開倉超560萬美元空頭頭寸:金色財經報道,衍生品協議GMX 平臺巨鯨、Mechanism Capital 創始人 Andrew Kang(0xe8c19db00287e3536075114b2576c70773e039bd)今日平倉 ETH 和 BTC 的多頭頭寸后,隨后開倉超 560 萬美元空頭頭寸,目前凈值約531萬美元。[2023/3/16 13:07:31]

這就使得,如果兩個數在一個?n進制取個位下乘積為1,這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎?

比如數字大一點,在366492進制取個位下,任何數乘以?967得到的數再乘以379,就是它本身。

公鑰和密鑰

如果我把?e=967?當做公鑰,d=379?當做密鑰,我只需要告訴別人這兩個數字,別人乘積以后交給我,我再乘以d,然后。。。。

不過有一個小問題,如果給出了這兩個數,別人除以e不就得到了我的秘鑰d嗎?畢竟,你可以算乘法,別人就可以算除法,而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

接下來要做的事情,就是想辦法把這自己的密鑰藏起來,讓別人拿到n進制數,還有公鑰e,沒有辦法算出我的密鑰,但是依然可以用e加密,我可以用私鑰d解密不就好了?

跨鏈互操作項目Sygma上線測試網:金色財經報道,跨鏈互操作項目Sygma宣布測試網上線。Sygma測試網將支持ERC20、ERC721和通用處理程序在Goerli(Ethereum)、Mumbai(Polygon)、MoonbaseAlpha(Moonbeam)網絡上運行。參與的開發人員將能夠將SygmaSDK集成到他們的應用程序中,并執行上述操作。[2023/2/16 12:09:59]

歐拉定理

我們引入?φ(n)。它的定義可厲害了,是「小于?n?的正整數中和?n?互質的數的個數」。這個定義忽略就好,只要知道,如果n是兩個素數p,q的乘積的話,?φ(n)=(p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大秘密,居然在?n進制取個位下,如果m和n互為質數,m的φ(n)次方居然等于1:

m^?φ(n)?≡?1

兩邊都取k次方:

m^?(k*?φ(n))?≡?1

兩邊都乘以m:

m^?(k*?φ(n)+1)?≡?m

k*?φ(n)+1?是啥意思?就是這是一個「除以??φ(n)余數為1」的數字。也就是說,只要找到e*d這兩個數,使得他們的乘積除以?φ(n)?余數為1就好。這個好找,有一個叫做輾轉相除法的方法,不過這里先略過。我們一般常常把e固定的設為65537,然后就可以找到一個滿足的d。

CoinSwitch:交易所儲備金高于用戶資產總額:11月17日消息,印度加密貨幣交易所CoinSwitch宣布,儲備金證明表明,截至11月4日,其交易所以印度盧比(INR)計價的加密貨幣和法幣余額總額超過其代表其用戶持有的資產金額。

CoinSwitch此前聘請咨詢公司INMACS進行審計,向其提供加密托管服務、銀行賬戶、CoinSwitch使用的支付網關以及與加密交易所的交易對手關系的清單快照。

CoinSwitch表示,其擁有超過1800萬注冊用戶,沒有將客戶的加密貨幣和INR余額用于任何借貸目的。(Forkast)[2022/11/17 13:17:45]

最后,也就是最驚艷的一步,如果我們能夠找到這樣的e,d,我們把?e?和?n?告訴整個世界,讓他們在?n進制取個位下,把要加密的數字?m?取?e?次方發給我,我對這個數再進行d次方,我就能得到m。

(m?^e)^?d?≡?m

重新梳理

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說,如果我能無論用什么方法,找到一個進制n,在這個?n進制取個位下,能夠找到兩個數字e和d,e公開給整個世界,d留給自己,同時還能讓任何數字m的e次方的d次方還等于原來這個m,加密解密算法不就成立了嗎?就跟最早我說的那個乘以一個數,再乘以另一個數,總等于原來的數字一樣?

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于,e和n給出了,d也就給出了。

在這個新的算法中,e給出了。n給出了,但e*d??≡?1的進制,不是簡單地?n,而是和n同源,但是不同的?φ(n)?。正因為進制改了,所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法,而借用歐拉的驚天發現,做了兩次冪運算。

從?n?能不能算出來??φ(n)?呢?如果有能力分解n當然?φ(n)?唾手可得,把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從n能不能輕易地找到p和q呢?根據最早的大數不可分解,要想找到100個太陽燒掉都不夠用,p和q好像是腳手架,算出來n,算出來?φ(n)就扔掉了。?那么??φ(n)?就是一個秘密。如果?φ(n)?是個秘密,有了e也找不到d。

所以,整個算法是無比精巧的安全。

舉例子

我們找兩個腳手架數字:p=2,q=7,算出n=2*7=?14,??φ(n)?=?(2-1)*(7-1)=?6?。那兩個腳手架數字p,q在算出n和?φ(n)后就退休了。找在?6進制取個位下,e*d?≡?1好辦,e=5,d=11就行。

這樣,公布給全世界的數字就是(e=5,n=14),保留給自己的就是d=11。φ(n)千萬也不能告訴任何人。φ(n)?就如同總統,n如同他的影子。世界只能看到他的影子,看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺,總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下,在?14?進制個位模式下,如果要傳遞的數字?m=?2,別人把m^e算出來,就是2^?5=?32?=2*?14?+4?≡?4

現在,4就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是11。我拿到以后,算4的11次方,4^11?≡?4,194,304%14?≡?2?,不就是別人要給我的那個數字嗎?前提是,我們認為別人從n=14無法分解成2*7,否則就全露餡了。

14肉眼可以看出等于2*7。

這個數n:

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559?

是p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。?p和q如同兩位門神,死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從p,q算出?φ(n)?,以及e,d,卻都是舉手之勞。

如果知道n的組成是p,q,我們按照上面的算法可以選出來e和d:

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說,這個游戲,任何人要把一個數字m傳給我,只需要在n進制取個位下,對它進行65537次冪,我再把它進行d次冪,我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法,就是RSA加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

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