時間序列該如何權衡平穩性和記憶力？_比特幣

許多預測模型都要求時間序列具有一定的一致性，即“平穩性”。平常的轉換，即整數階差分(譬如，在金融學中表現為建模收益而不是絕對價格)，消除了數據中的記憶，從而影響了建模的預測能力。

本文概述了分數微積分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平穩性和有意義的記憶之間做出權衡。

一般而言，我們會把一個給定的時間序列理解為一個隨機過程產生的樣本，并試圖推斷出其分布及統計數據以建立一個預測模型。

建立隨機過程的預測模型是為了平衡樣本的特殊性和一般性：該模型根據一般模式的背景對給定的序列做出解釋。

數據：比特幣今日凌晨某區塊出塊時間達1小時40分鐘:5月19日消息，Dune數據顯示，比特幣在北京時間5月19日凌晨01:18區塊高度790340處的出塊時間達1小時40分鐘35秒，為今年出塊最慢的比特幣區塊，且是過去一年中出塊第三慢的比特幣區塊。此外，Btc.com數據顯示，區塊高度790340處的交易數達2141，交易總額達11659.23枚BTC。[2023/5/19 15:13:09]

比一般預測回歸更具體的是，由于時間結構的原因，時間序列一般具有其固有順序。任何給定的實例都反映了其發展變化情況，即過去跟蹤記錄的特定記憶。

Parallax Digital創始人：比特幣優化了在空間和時間上移動價值:加密貨幣投資和數字證券咨詢公司Parallax Digital創始人Robert Breedlove今日發推稱，從Elon Musk學到的一課：金錢只是一種跨越時空移動價值的工具。黃金可以讓價值在時間上移動，但不能移動空間。法定貨幣很適合在空間上移動價值，但不適合在時間上移動。比特幣優化了在空間和時間上移動價值。[2021/1/10 15:48:27]

平穩性

為了確定生成過程的一般模式并映射給定的排列，在實際建模之前我們通常將此特定序列的記憶作為預處理步驟的一部分予以刪除。

在機器學習領域的監督學習中，該序列可以發現一般性結構并對給定的實例與標記訓練集中更多的樣本進行匹配。

動態 | 數位分析師稱距離比特幣減半僅剩100天，但精準時間仍未確定:多位分析師、交易員和加密愛好者根據目前比特幣網絡的狀況預計，距離減半僅剩100天，即于2020年5月12日凌晨發生。需要指出的是，第三次比特幣減半的準確時間可能會因為網絡速度的波動而提前，因此此倒計時仍可能發生變化。（U.Today）[2020/2/3]

在數學領域,過程的統計特性不會因時間順序的改變而變化，這意味著系列不會隨時間推移而呈現出一種趨勢。該概念被稱為平穩性。

檢查時間序列平穩性的方法有很多種:

觀察線形圖，尋找一段時間內的明顯的趨勢。比較數列中各種分割的基本匯總統計數據。觀察自相關圖：曲線下降越快，滯后越明顯，序列的非平穩性階數越小。最常見的平穩性統計檢驗是單位根的ADF檢驗。

聲音 | 臺灣學者陳恭：區塊鏈技術或許在很短的時間會退出市場:據多維新聞網消息，臺灣政大金融科技研究中心副主任陳恭近日表示，區塊鏈技術的創新在于成功運用現有的密碼學技術，使得數字資產或數據難以被改動，但跟許多新技術或新平臺一樣，或許在很短的時間會退出市場，不過，人的想象力無限，隨著區塊鏈技術的應用層面不斷擴大，也有可能因此改變未來人類社會樣貌。[2018/11/6]

單位根是指初始條件或外部沖擊不會隨著時間的推移而消散，而是通過該序列傳播，并通知所有后續值。該含義從直觀上正式地解決了在單位圓上的過程特征方程。

對于給定的置信水平，ADF測試零假設“序列中存在單位根”以及序列穩定性的替代。它直接證明了，單位根的存在確實意味著該序列的不穩定。

聲音 | 以太坊開發工作室CSO：由于監管機構的限制而花費更多的精力和時間就是在限制創新:據Coindesk消息，以太坊開發工作室ConsenSys的首席戰略官Sam Cassatt近日在接受采訪時表示，監管沙箱的問題之一是，它們雖然允許公司進行創新的方式，但如果要減輕風險，會由于監管機構的限制而花費更多的精力和時間，那么其實這就是在限制創新。[2018/9/25]

分數階微積分

事實上，在17世紀牛頓和萊布尼茨發明微積分后不久，數學家們就對分數階導數的使用進行了探索，將微分或積分的順序從自然數擴展到實數。然而，其應采納赫斯特和曼德爾布羅特在20世紀的成果，為分數微積分找到初期的自然應用，并使其與霍斯金和格蘭杰于20世紀80年代創建的Arfima模型一同進入金融領域。

大約在1730年，歐拉就該歸納給出有史以來第一個啟發式，通過函數將二項式系數推廣到實數階。后來，在黎曼和劉維爾的積分理論中，重復微分的柯西公式使之變得更加嚴謹。

這里，我們僅僅給出了時間序列差分應用程序的形式啟發式：

B表示滯后操作符，即對于t>1,BX_t=X_{t-1}和某個時間序列X={X_1，...}。一階元素階差分可以用恒等算子I表示，如下：

金融時間序列建模的應用

在金融領域，時間序列起主導作用。為了更好地理解分數階差分的特征，我們將其應用于一些典型的金融時間序列。

利用以下代碼，將差分算子的上述形式序列的展開式應用到指定實階d和固定窗口大小的時間序列上，得到變換后的序列，然后只需將一個pandas時間序列輸入參數階和lag_cutoff的ts_difference函數中即可。

2016-2018年比特幣的價格(紅色，右軸)，以及部分衍生品(藍色陰影)

正如你可能已注意到的，比特幣的價格在2017年和2018年經歷了一次明顯的炒作。實際上，看看一階差分，我們發現價格在某些日期上漲了2500美元以上。上圖展示了一些分數階差分的平滑函數插值。這似乎很奇怪，在如此強勁的趨勢下，約0.4的弱差分實際上竟足以使該序列呈平穩型：給定樣本的ADF統計量為-5，其已低于DFt-分布的臨界值-2.86,因此在置信度為95%下，該序列可以假定是平穩的。的確，隨著財富的來回變動，它很快就變得吝嗇起來。

低階差分足以滿足平穩性的結論與其他許多金融時間序列相似。

為了說明平穩性和記憶之間的權衡，我們可以進行適當的可視化，并將ADF測試統計數據以及與原始序列的相關性繪制成具有不同階差變換的序列。。

對于商品期貨、匯率、指數等各種典型的金融序列，這種對比清晰地表明了差階滿足金融建模的平穩性條件，同時保留了特定的記憶結構，從而保持了原始序列的統計動態。

ADF檢驗統計量(左軸，紅色曲線)和線性相關(右軸，矢狀花藍色曲線)與原序列進行各種分數階差分，應用于各種金融時間序列。石板灰中的常數線表示ADF檢驗的顯著性水平為95%。

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