密碼學研究 | 動手計算雙線性對（上）_ripple

零知識證明是重要的密碼學技術之一，其中基于電路的通用零知識證明算法更是因為近年取得的長足發展和在區塊鏈項目中的應用而備受關注。雙線性映射，也叫雙線性配對或雙線性對，是通用零知識證明算法的重要組成部分，也是眾多密碼體制，如聚合簽名、身份基加密、屬性基加密等的關鍵構件。本文從零基礎開始，通過完整的模擬雙線性對的原理來實現一套在小有限域上的雙線性映射，幫助讀者加深對雙線性映射的理解。

“動手計算雙線性對”這個系列計劃有上中下三篇內容，本文是上篇，介紹后面文章需要的一些基礎知識。在中篇，我們將對一個名為curve101的曲線進行討論，其有限域只涉及101個元素，用于配對的橢圓曲線子群只有17個點，不借助計算機也能方便的通過純手算完成整個過程，十分適合零基礎讀者入手。下篇則會實際計算并討論雙線性對的實際例子，全部的中間計算過程我們都將列出，讀者可以按步驟重現整個計算流程。

在之后介紹零知識證明算法的系列文章中我們還會用到這個curve101進行演示，屆時讀者可以更加明白雙線性對的作用，而接下來我們就來一起從零基礎開始演算這個雙線性曲線。

瑞士密碼學家Christian Cachin：Ripple網絡中沒有共識:瑞士密碼學家、伯爾尼大學計算機科學家Christian Cachin在其博客文章“Ripple網絡中沒有共識”中表示，對Ripple協議的技術分析表明，在陳述的假設下，其既不能確保安全，也不能確保其活動性。文章稱，借助其模型可證明，即使在極端溫和的對抗條件下，Ripple的協議也無法達成共識，并且可能妨礙安全性和活力。尤其是，網絡可以在Ripple聲明的UNL重疊的標準條件下，且在只有極小部分的惡意節點的情況下分叉。在網絡忽略或延遲正確節點之間的消息的時間段內，惡意節點可能只是向正確的節點發送沖突消息。其還演示了即使所有節點都具有相同的UNL并且只有一個拜占庭節點，Ripple的共識協議也可能會失去活力。如果發生這種情況，則必須手動重新啟動系統。文章得出結論稱，Ripple網絡的共識協議很脆弱，無法確保計算機科學和區塊鏈從業人員普遍理解的共識。[2020/12/3 22:55:52]

眾所周知，很多公鑰密碼體制都是建立在有限域上，特別是模素數的有限域。作為零基礎的系列，我們不去糾結數學概念“域”的嚴格定義，而是通過介紹帶模運算相關的內容，來真實的展現一個有限域。

密碼學家：端到端加密面臨著越來越大的阻力:金色財經報道，約翰·霍普金斯大學的密碼學家、安全技術專家和計算機科學教授Matthew Green表示，試圖整合端到端加密的公司正面臨著一場艱苦的戰斗，因為開發保護私人通信系統的創新者面臨著越來越大的阻力。Green表示：“真正讓我擔心的是，美國和其他政府強烈要求阻止部署新的E2E加密。”去年，美國總檢察長William Barr與來自美國、英國和澳大利亞的國際執法合作伙伴簽署了一封公開信，批評了Facebook計劃在其所有消息傳遞平臺上實施E2E，致使對端到端加密的反擊獲得了很大推動。[2020/6/6]

帶模運算是在我們熟悉的加法和乘法的基礎上增加一步計算余數的操作，例如，在以7為模數的系統中：

3+3=6，也就是mod7=6

3+6=2，也就是mod7=2

4×2=1，也就是mod7=1

所謂模素數就是說取模操作針對的是某個素數p，例如上述的7，或者curve101中的101。p是素數這個細節是關鍵的，在下文介紹帶模乘法的逆運算時你將會對這一點的必要性有更深的體會。

V神發推預測21世紀20年代密碼學大趨勢:金色財經報道，V神今日在推特上表示：2010年代密碼學的大趨勢是橢圓曲線、配對和通用ZKPs/SNARK；預測21世紀20年代的大趨勢將是（除了廣泛采用上述技術外）格（lattices）、LWE、多線性映射、同態加密、MPC和模糊處理。[2020/4/11]

有了模加法，我們可以定義其逆運算是模減法，例如：

6-3=3，也就是mod7=6

2-6=3，也就是mod7=3

同理，有了模乘法，自然而然會想到去定義其逆運算“模除法”。但是加、減、乘我們可以直接正向計算得到，“模除法”就比較困難。例如為了求3/2等于幾必須思考哪個數乘以2等于3，而這個思考過程并不是特別直接。好在我們模7的例子中涉及到的元素并不多，因此通過窮舉就能找到答案：因為2×5=3，所以3/2等于5。

需要注意到3/2其實可以轉化為3×(1/2)，而因為剛才我們計算過4×2=1，所以1/2的值我們其實是知道的。因此3/2=5可以通3×4=5計算出來。這啟發我們可以枚舉全部形如1/n的數得到一個“倒數表”，然后借助“倒數表”將除法轉化為乘法進行。

現場 | 元道：通證是凝結在密碼學基礎設施上的人類共識符號:金色財經現場報道，在中國區塊鏈行業發展論壇現場，中關村區塊鏈產業聯盟理事長、通證派創始人元道表示，行業數字化通證第一、區塊鏈第二。通證是凝結在密碼學基礎設施上的人類共識符號，全球發行，全球流通。通證應用在于：第一、協作，行業上下游的強協作激勵機制（包括負激勵）；第二、品牌，通證全球流通，便于建立全球品牌；第三、組織，新一代行業協會，社群自治組織。自金融，自帶金融的數字化變革，從自媒體到自金融。[2018/7/11]

模7逆元表

按習慣，我們一般不用1/n的寫法，也不用“倒數”這個稱呼。而是將1/n寫做?n-1，并將其稱為n的逆元。下文我們將遵從習慣，使用逆元這個叫法。顯而易見的是，在不同的模系統中，同一個數的逆元是不同的。比如模7系統中，3的逆元是5；而模11系統中3的逆元是4。因此除非有明確的語境和上下文，否則為了避免歧義，還要說明逆元是模幾的逆元才有意義，比如一個完整的說法是：3的模7逆元是5。

斯坦福大學應用密碼學小組提出可減少區塊鏈數據的方法:斯坦福大學(Stanford University)應用密碼學小組(ACG)提出了一種可以大幅減少區塊鏈數據的方法，數據大約可以被減少10倍，希望實現比特幣和其他加密貨幣的高效交易。[2017/11/21]

在模7的系統中，我們為每個元素都找到了逆元，在模17和模101的系統中也可以完成這樣的操作。那么我們自然而然會想：是否在任何模的情況下都能為每個元素找到逆元呢？答案是否定的，例如在模8的系統中，找不到任何一個數乘以2等于1，也就是說在模8的系統中計算1/2這個“除法”是沒有意義的。實際上，只有在模為素數的情況下才能為每個元素都找到逆元，也就是說在模素數的情況下我們才可以給任意兩個元素計算“除法”。在這樣的模素數系統中，任意兩個元素都能完成加減乘除四則運算，我們稱模7加法、模7乘法和集合{0,1,2,3,4,5,6}組成一個有限域：模7剩余類域。

所謂“有限”的意思就是集合的元素是有限的，比如這里的7個元素。雖然在本篇科普性質的文章對待數學概念都并非十分嚴格和謹慎，但是這里仍然能夠揭示域的一些關鍵性質。比如我們發現僅利用集合中的元素就能夠計算四則運算。模7剩余類域是這樣，有理數域、復數域等也都是這樣，意識到這一點就已經足夠完成后面文章的閱讀了。我們后面用Fp代指模p剩余類域，例如F7，F101等。

討論完了加減乘除四則運算，按照我們曾經學習有理數的思路，我們來考慮開平方運算。例如3×3mod7=2，所以3是2的“平方根”。如果某個非零元素是可以開平方根的，我們稱這樣的元素為模7的二次剩余，否則就叫模7的二次非剩余。這樣我們可以列出下面一張表：

可以注意到，二次剩余的個數和二次非剩余的個數是相等的，二次剩余的逆元仍然是二次剩余，二次非剩余的逆元也仍然是二次非剩余；而且我們還注意到，每個二次剩余都有兩個根并且他們的和為0，這一點性質像極了正實數：正實數的平方根總有兩個，他們互為相反數。

如何判定一個數是否為二次剩余和如何求二次剩余都是有趣和實用的問題。比如在動手計算雙線性對會談到的橢圓曲線中，已知x坐標和橢圓曲線方程求y的過程就需要考慮計算二次剩余的問題。相關的方法一般會涉及到勒讓德符號等。而在我們的討論的例子中因為元素的數量很少，我們一般采用窮舉的方法就能解決。

經過上面的演算，我們發現3在F7中沒有“平方根”，也就是不存在某個數其平方模7為3。類比復數域對實數域的擴展，我們假設3的一個平方根為j，即j*jmod7=3。現在我們把j加入到{0,1,2,3,4,5,6}集合中，然后嘗試再加入一些其他元素使得新的集合仍然構成一個域。

首先為了能夠計算加法和減法，至少還要加入j、1+j、2+j、3+j、4+j、5+j、6+j，為了能夠計算乘法我們至少還要加入j、2j、3j、4j、6j、6j，最終我們發現一個新的能夠計算四則運算的集合至少要有下面49個元素：

例如6j+j=0；(3+j)(5+2j)=4j;(4+4j)-1=6-6j

那么僅用這49個元素能夠完成四則運算嗎？答案是肯定的，雖然本文不去嚴格證明這一點，但是可以簡單揭示一些其中的原因：

對于加法和減法，我們很容易驗證任意兩個元素的和、差都在還在集合中；對于乘法，因為j×j=3這條規則，簡單驗證后我們就能發現任何兩個元素的積還是在集合中；唯一需要仔細考慮一下的是除法；對于除法，我們總可以通過如下方式計算a+bj的逆元：

因為a和b是F7中的元素，因此a2-3b2?也是F7中的元素，因此可以判定a2-3b2?的逆元仍然是{0,1,2,3,4,5,6}中的元素。所以最后可以發現a+bj的逆元是(a-bj)(a2-3b2)-1，它仍然落在49個元素之中。所以新的49個元素組成的集合不但包含{0,1,2,3,4,5,6,j}，而且能夠計算四則運算。這個新的集合其實也是一個有限域，我們稱其為F7的二次擴域，記為F72，之所以是“二次”，我們可以這樣粗暴的理解：每個F72中的元素需要兩個F7的元素通過組合的方式來表示。

本篇介完了關于模運算和模p剩余類域的一些基礎知識，下一篇“動手計算雙線性對”，我們會介紹關于有限域上橢圓曲線的一些例子和知識，屆時會使用到本篇中的內容，敬請期待。

作者簡介

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺部區塊鏈底層密碼學小組

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