密碼專欄 | 動手計算雙線性對（下）_GAT

前言

上一篇文章中，我們在"F_101"上找到了17個點滿足橢圓曲線方程，他們構成一個循環。那么在"F_101"中元素作為坐標的點中還有沒有其他的點也滿足方程呢？換句話說，上篇文章列出的17個點是不是就是滿足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以驗證(3,38)也滿足橢圓曲線的方程，但是他不是上面17個點中的一個。另一個子群

實際上，我們甚至可以通過將(6,44)作為生成元來得到一個102個元素的循環群，這個循環群涵蓋了曲線在"F_101"上的全部點。但是，曲線在"F_101"上的循環周期為17的循環群卻只有中篇列出的一個，也就是說在"F_101"上討論的話，循環周期為17的點已經被我們全部找到了。

在中篇中，我們也提到數域的擴張會直接影響我們需要討論的點的多少，那么如果我們對"F_101"進行擴張，是否能夠得到更多的循環周期為17的點呢？METASTATE的博客中給出這樣一個例子，我們將用這個例子說明這個命題的真假。首先我們選擇滿足j^2mod17=15的j用于對"F_101"的擴張，過程就像我們上一篇文章中進行的那樣，擴張后的域記為“F_101的二次擴域”。在這個擴張下，我們可以找到另一個循環周期為17的群，下面的表格列出這個群的全部元素：

動態 | 加密錢包GateHub的140萬個用戶賬戶信息被盜 包括密碼、密鑰和助記詞:金色財經報道，數據泄露索引網站“ Have I was Pwned”一名安全研究人員表示，加密錢包GateHub和RuneScape機器人提供商EpicBot 220萬用戶的密碼數據和個人信息已被泄露。Hunt稱，被盜信息包括來自GateHub加密貨幣錢包的多達140萬個用戶帳戶的個人信息，以及自稱為世界上最安全的多合一RuneScape機器人提供商EpicBot上約80萬個用戶帳戶的數據。 被盜信息包括注冊的電子郵件地址、密碼、雙因素身份驗證密鑰、助記詞和錢包哈希。GateHub官方表示，錢包哈希沒有被訪問。（cointelegraph）[2019/11/20]

聲音 | 重慶工商大學劉昌用：區塊鏈的本質是“密碼共識”:據隕石財經報道，11月10日下年，在重慶工商大學主辦的2019密碼經濟研討會上，重慶工商大學區塊鏈經濟研究中心主任劉昌用以《密碼經濟的性質和結構》為主題發表了演講。劉昌用認為非對稱密碼帶來了革命，能夠解決支付產權確認和轉移中對中介的依賴。并表示區塊鏈的本質是“密碼共識”，提出了個密碼共識的公式，即密碼共識＝非對稱密碼技術+分布式共識。劉昌用還提出了兩個基本思想:一是非對稱密碼技術改造了人類財產確定和轉移方式;二是公共基礎設施無法信任任何人的場景應用，全球的經濟基礎設施定了可以建立這個系統的技術條件。[2019/11/10]

我們隨機選擇(66,0+23j)這個元素來驗證其滿足曲線方程：

左側：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右側：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

動態 | 近 27 億電子郵件地址和密碼等組合的文件被泄露系有人在暗網上售賣:根據慢霧區情報，近日有人泄露了近 27 億電子郵件地址和密碼等組合的文件，隨后慢霧安全團隊進行了持續跟蹤與分析。之后發現，有人在暗網上售賣 “Collection #1~5, Latest Anti Public (120GB) and Zabagur #1” 總計 847GB 的數據，數據結構涉及如下組合：電子郵件地址/密碼、用戶名/密碼、電話/密碼等。

經過慢霧安全團隊的確認：此次泄露數據量極為巨大，這些泄露的部分數據很可能會嚴重威脅大量交易所用戶的資產安全，慢霧安全團隊提醒數字貨幣相關用戶及交易所注意風險，提高風控級別，及時阻攔可能存在的異常登陸及交易操作。[2019/1/23]

左側等于右側，驗證完畢。

在發現通過域擴張后還能找到更多的17階點后，我們不禁會想：

聲音 | 密碼學家 Nick Szabo：比特幣有能力取代黃金 央行會求助于加密儲備:據 oracletimes消息， Nick Szabo是一位著名的密碼學家，他相信比特幣有能力取代黃金。換句話說，央行也許有一天會求助于加密儲備，作為補充國家黃金儲備的一種方式。據行業專家稱，經濟有問題的國家使用加密也會增加。[2019/1/11]

繼續對”F_101的二次擴域”進行擴張，能否找到更多的17階點呢？

或者是：為了找到全部的17階點，我們需要對F_101進行幾次擴張呢？

嵌入度其實就是描述這個問題的一個概念。E是定義在F_101上的橢圓曲線，我們已經有一個包含n=17個點的子群，我們稱這個子群的嵌入度是滿足17整除q^k-1的最小的k。在這個例子中，k=2。計算嵌入度的價值在于事實證明，當對F_101進行擴張以期其上的橢圓曲線包含全部17階點時，最小的擴張次數就等于嵌入度。也就是說在”F_101的二次擴域”上，我們已經找到全部的17階元素。

密碼學之父：不管每個人擁有多少的財富都會想要去貢獻自己所擁有的價值:在2018分散經濟討論會上， 密碼學之父David Chaum發表演講稱，不管每個人擁有多少的財富都會想要去貢獻自己所擁有的價值。盲簽名是一種只需要數字就能收款的具有革新價值的想法，類似于比特幣和以太幣等虛擬貨幣，以區塊鏈為基礎的技術可以確保收款人和匯款人的匿名性，加密學幫助了人們的日常生活，希望日后可以共享、分享信息，更進一步可以直接以民主的方式開創可能性。[2018/4/3]

Millier循環

下面給出計算雙線性映射的Millier算法，當計算e(P,Q)時，該算法根據P的坐標創建一個二元多項式，然后將P坐標的x和y分量帶入求值：

METASTATE的博客中作者已經計算了e((1,2),(90,82u))點的結果為97+89j。我們給出另外一個計算的例子，并且稍后通過對比這兩個例子的結果說明雙線性對的一些屬性。

其中f_17是二元的多項式，通過一個稱為Millier循環的過程我們可以生成該多項式，這個過程類似于計算指數運算時的mul-and-square操作。但是為了更直觀的展示原理，我們選擇根據上文定義直接展開計算f_17，這會增加一些計算量。

因此我們需要計算

的表達式。通過查詢上一篇文章的列表我們可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下來我們來計算這些直線的方程：

這樣我們已經可以計算f_17的結果：

最后我們計算(81+52j)^600

完全解決curve101配對問題

實際上，我們可以計算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值為7+28j。這樣我們能夠完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一個循環群，他其實是在“F_101的二次擴域”上滿足方程x^17=1的17個根。根據該表我們不加以計算就可以知道這個配對的任何一個計算結果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5個元素：93+25j。我們之所以能夠完全解決curve101的配對問題，是因為curve101的一系列參數決定其足夠簡單，而實際零知識證明算法中使用的配對就要復雜很多。例如一些標準中要求其配對曲線的嵌入度至少為12，這意味著GT的元素至少是基礎素域的12次擴張！如果其素域特征為常見的256位，那么為了表示一個GT元素就需要256*12/8=384字節的大小。對于任何一個實際使用的曲線，其計算復雜度和規模都使我們當前絕無可能計算出其映射表，這也是離散對數問題困難的所在。

通過系列文章，我們計算了一個簡單的配對曲線，加深了對雙線性映射的理解。后續，我們繼續使用這個配對曲線來講解和演示零知識證明中Groth16算法的過程和原理，敬請期待。

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

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