Uni V3的數學原理_TIC

前言——UniswapV3放出了很多feature，然而其最為本質的迭代依然是對AMM數學曲線的再思考。在過去的兩年中，我們也躬身入局AMM領域，認為AMM最基本的曲線形態已經定型，后續的創新應該會在AMM基本曲線形態的基礎上實現“策略化”，于是我們創造了MOV超導V2。而如今我們看到了V3，突然有一種“久別重逢”的感覺，在尋找這種感覺之余，我們也希望為大家呈現AMM最為深刻的思考路程。因為AMM的時代將會比想象得更為恢弘壯闊。

讓我們直切正題，UniswapV3最耀眼的創新——在AMM上實現集中流動性。

V3給出了一個虛擬儲備金的概念，舉例講解：

在傳統V2中，Alice一次性將500,000DAI和333.33ETH注入儲備池，總價值$1m，提供全區間(0,\infty)的流動性，但實際上ETH的價格波動范圍在很長一段時間內是有局部范圍的，這種為全區間無私提供流動性的行為大大浪費了資本利用效率。

Uniswap V3上的主動流動性管理協議Gamma已上線Arbitrum:12月28日消息，Uniswap V3上的主動流動性管理和做市協議Gamma已上線Arbitrum。Gamma在上線Arbitrum的同時，將發布新的流動性管理和做市策略，以及一系列適用于不同風險承受能力的結構化LP產品。[2022/12/28 22:11:59]

所謂的集中流動性便是讓LP自主選擇波動范圍，只為該范圍提供局部流動性，例如Bob認為未來一段時間內ETH的價格區間在(1000,2250)，并且如果未來真的是在這個區間波動，Bob希望自己獲得的收益能夠跟百萬富豪Alice一樣多，于是Bob一開始只需要投入91,751DAI和61.17ETH，總價值$183,500，遠遠小于Alice實際投入的資金。我們對照下圖來解釋其中的道理。

則

即Bob所獲得的虛擬曲線幾乎跟Alice一樣。

Uniswap V3合約已正式部署到Polygon主網:金色財經報道，Uniswap和以太坊擴容解決方案Polygon宣布，在UNI持有者投票通過治理提案幾天后，所有Uniswap V3合約均于周三正式部署到Polygon主網上。Polygon聯合創始人Mihailo Bjelic表示，通過這種部署，Uniswap作為以太坊的旗艦應用回到了最初的愿景，并再次向所有人提供低費用和開放訪問。[2021/12/23 7:57:30]

上述計算過程是一種反證法，實際上用戶Bob會向系統算法提出自己的需求輸入，包括預測價格區間范圍、當前價格點、最終想要獲得的一個virtualreserves規模。有了虛擬曲線表達式的確定，可以輕松算出a、b、c三個確定的點坐標，進而便算出?x_{real}=61.17以及y_{real}=91751。

同時，也可以看到，一旦未來價格越出了區間，Bob其中一種資產將徹底消失。

UMA：Uniswap v3將提高使用UMA所構建合成代幣的資本效率和流動性:去中心化合成資產協議UMA發文稱，Uniswap v3將提高使用UMA構建的合成代幣的資本效率和流動性。此次升級的決定性特征是“集中流動性”。它賦予個人流動性提供者更多的控制權，以控制如何提供流動性。

Uniswap v3的定制價格范圍引入了“范圍訂單”。這意味著LP可以選擇在特定范圍內出售多少資產，而不是對所有LP都采用統一的曲線。這允許以更少的資本提高更深的流動性。UMA正在研究新的流動性挖礦模型，僅僅最大化鎖倉量不再是最佳目標。官方希望Uniswap v3能夠減少行業對TVL作為核心指標的關注。[2021/5/4 21:22:39]

全局狀態中有feeGrowthGlobal0(f_{g},0)和feeGrowthGlobal1(f_{g},1)—f_{g}，用來從全局角度統計總的手續費收益。例如，當在一個tick內發生了一筆交易，系統會計算出該筆交易產生的手續費：

1月Uniswap日均交易量接近10億美元 月度交易量已創新高:1月20日消息，Uniswap正繼續引領DEX行業發展，其1月份日均交易量已接近10億美元。與此同時，本月還未結束，但Uniswap平臺月度交易量就已經超過了其在9月份DeFi繁榮時期創下的153億美元月度交易量最高紀錄。昨日消息，數據顯示，1月DEX整體交易量突破300億美元創下歷史新高，其中Uniswap交易量占據榜首，份額超過40%。（Cointelegraph）[2021/1/20 16:35:18]

f_{a}變量是對所有高于itick的區間的fee統計，f_{b}是對所有低于itick的區間的fee統計，因此在上述總公式中，我們從全局總累計手續費f_{g}中減去所有低于下界i_{l}的累計手續費，再減去所有高于上界i_{u}的累計手續費，便是(i_{l},i_{u})?之間的累計手續費。

f_{o}可以理解為一個計算單元，用于累積截止到i?tick的手續費，在它的初始化過程中，我們約定如下：

鏈豆資本千萬投資蝙蝠財經CoinEcho Union PTE. LTD:鏈豆資本宣布投資蝙蝠財經CoinEcho Union PTE. LTD，投資額度達千萬級。蝙蝠財經聯合主流財經媒體正確解讀國家政策，匯聚行業大咖觀點，打造專業的視頻媒體服務，建立具有公信力的區塊鏈財經排行榜，致力于服務具備投資價值的區塊鏈產品和公司，甄別空氣幣與價值幣，保護中小幣圈投資者。[2018/6/2]

再來看f_{a}的計算，分成了兩段，可以理解為——

如果當前tick等于i或者高于i，此時從全局總手續費f_{g}中減去“累積到itick”的手續費f_{o}(i)，剩下的便是對所有高于itick的區間的fee統計；

但如果當前tick還未抵達i，此時根據對f_{o}的初始化定義為0，則所有高于itick的區間的fee統計尚未產生，為0。

同樣對于f_{b}——

如果當前tick抵達或者超過了i，f_{o}(i)表示累計到i的手續費，也即對所有低于itick的區間的fee統計；

如果當前tick還未抵達i，對所有低于itick的區間的fee統計值即為當前的全局變量f_{g}。

通俗來概括，系統算法要統計某一個range內累計的手續費，

如果當前tick已經處于range內部，即i_{l}\leqi_{c}<i_{u}，只需要從全局手續費f_{g}減去所有低于i_{l}組成的range累計的手續費；

如果當前tick不處于range內部，且低于下界i_{l}，說明尚未在(i_{l},i_{u})區間內產生交易，也就未產生手續費，因此該range內累計量為0；

如果當前tick不處于range內部，且高于上界i_{u}，需要從全局總量中分別去除“兩頭”各自的累計量，即從全局f_{g}中減去所有低于i_{l}區間累計量，再減去“從i_{u}到當前tick區間累計量”。

UniV3計算手續費的過程是一種從微觀走向宏觀的思想，它將空間劃分成離散的，每一個時間刻度只會在一個離散空間上產生交易，從而產生手續費，每一個微觀tick都在各自記錄著自己從最低tick到自身這段區間內的累計手續費總和，然后供上述公式不斷調用，以計算各種宏觀結果。

UniV3已經改變了傳統AMM對LP行為的設定，也不再基于全局流動性和份額來為每一個LP計算手續費收益。對V3來講，它只關注在每一個tick里存在多少“虛擬”流動性，以及這些虛擬流動性產生了多少手續費，算得單位虛擬流動性對應的手續費值；在這個時空之下，我們再把視角切到具體每一個LP上，對于任何LP，都會存在一個“開倉”的區間設定，他在自己設定的區間提供了虛擬流動性，可能是一個tick，也可能是連續多個tick，從最簡單的“一個tick”角度解釋，系統會記得同一時空下每一個LP在此tick注入的虛擬流動性值，并為他們確定出一個比例，以此分得該tick內所有手續費累計。

在實際情況中，LP們還會存在復雜的行為，比如注入/退出的時間紛雜、選擇的range/tick紛雜。但UniV3的大道至簡之處正是利用全局計算來屏蔽掉單個LP視角，只關心ticks視角和Position視角。在確定好上述所述的一系列全局狀態變量的定義后，認真記錄好每一筆swap交易在ticks中發生的情況，同時只記錄每個tick內虛擬流動性的大小，以此為根本去提供swap交易公式以及swap后手續費如何分配給參與該tick的所有LP們。LP的復雜行為體現在空間的不連續性和時間的不統一性兩方面，對于時間不統一性，UniV3還會引入Position這一級別的全局變量為每一個身份記錄下其對range/tick加入/退出時手續費的統計，確保后來的LP不會參與到前序LP們已經累計的收益分配。

如果總結來講，tick-level是對空間上發生的統計，確保起點一致的LP們fee分配，而Position-level是對時間上發生的統計，確保不同起點的LP們fee累計起點不一樣。建議實現者深入V3代碼，才能真正獲得安全計算法。

最后，UniV3過于復雜，但大道至簡，即便去模仿，模仿者依然需要下功夫深刻了解其“微積分”思維。這篇文章只選擇了fee這一個角度呈現UniV3的“數學原理”，也是其實現集中流動性的核心邏輯。而在數學之外，我們有更多驚喜的“哲學意義”發現與大家分享，例如LPtoken的進化、NFT其實并不只屬于藝術領域、V3會存在一個策略博弈、V3對基金池/合成資產的啟示等等，當然也包括與MOV超導V2的“心有靈犀”——AMM的本質是連續性的無限網格，UniV3是在這個無限網格基礎之上再實現了微觀無限網格，是“無數網格機器人的疊加”，MOV超導V2則是在無限網格基礎之上進行了更為宏觀的無限網格，是超級網格。請期待下一篇《UniV3的自然哲學》。

作者：比原鏈研究院

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