硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理_WAM

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關于 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中并沒有多費筆墨，只在最后給出了非常簡單的數學結論，這對于理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至于 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

oilysirs.eth在一小時前將55萬枚ARB換成了48.2萬枚OP:金色財經報道，據推特用戶余燼監測，聰明錢oilysirs.eth在一小時前將55萬枚ARB換成了48.2萬枚OP。他在一個半小時前將55萬ARB轉入Binance，半小時后從Binance提出48.2萬枚OP，OP買入價格1.15美元。[2023/6/20 21:49:03]

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

今日恐慌與貪婪指數為62，等級由中性轉為貪婪:金色財經報道，今日恐慌與貪婪指數為62（昨日為53），等級由中性轉為貪婪。

注：恐慌指數閾值為0-100，包含指標：波動性（25%）＋市場交易量（25%）＋社交媒體熱度（15%）＋市場調查（15%）＋比特幣在整個市場中的比例（10%）＋谷歌熱詞分析（10%）。[2023/2/16 12:09:59]

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨著區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恒定乘積做市。

網易有道將推出教育場景下的ChatGPT模型，團隊正在學習場景中嘗試探索:金色財經報道，有道AI技術團隊已投入到ChatGPT同源技術AIGC在教育場景的落地研發中，目前該團隊正在AI口語老師、中文作文批改等細分學習場景中嘗試探索，將盡快推出相關的demo版產品。[2023/2/8 11:54:25]

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

幣安：Signature Bank將于2月起不再接受10萬美元以下的加密貨幣交易:金色財經報道，Binance在一份聲明中表示，其法幣銀行合作伙伴之一的 Signature Bank 將從 2023 年 2 月 1 日起不再支持任何買賣金額低于 10 萬美元的加密貨幣交易所客戶。因此，一些個人用戶可能無法使用 SWIFT 銀行轉賬的方式以低于 10 萬美元的金額購買或出售加密貨幣。

Binance發言人還表示，其他銀行合作伙伴沒有受到影響，正在積極尋找替代解決方案，目前平均每月僅有 0.01% 的用戶由 Signature Bank 提供服務。[2023/1/22 11:25:44]

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恒定乘積做市商，我們可以得到，

隱私瀏覽器Brave推出隱私保護數據收集系統STAR:7月20日消息，據官方公告，隱私瀏覽器Brave宣布推出隱私保護數據收集系統STAR，該系統使用k-anonymity匿名算法，可在用戶貢獻數據且共享的情況下保護用戶隱私。該系統可提供與現有系統相似或更高的隱私，使用現有的加密工具而非加密原語因此可更易理解，部署不需特殊硬件因此降低了成本，可提供小用戶群的準確結果。

STAR系統將在洛杉磯舉行的2022年ACM計算機和通信安全會議上推出，并正在討論IETF（國際互聯網工程任務組）可能的標準化。[2022/7/20 2:25:19]

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恒定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

先對 xn 求得一般公式，并獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，則

計算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，對于一般的分式線性遞歸，我們可以采用不動點的方法求解。

進一步計算，

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最后，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恒定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，并得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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