如何設計出一種精妙絕倫的證明遞歸方案？_FOX

撰文：FoxTechCTO林彥熹，FoxTech首席科學家孟鉉濟

前言：

在zkRollup以及zkEVM賽道所遇到的幾乎所有難題，其本質都是算法問題。ZKP硬件加速之所以屢屢被提及，主要原因是當下算法普遍較慢。為了避免落入“算法不夠，硬件來湊”的尷尬境地，我們應該從本質算法上解決問題。設計出一種精妙絕倫的遞證明方案是解決這個問題的關鍵。

隨著智能合約的不斷發展，越來越多的web3應用逐步問世，以太坊等傳統Layer1交易量迅速攀升并隨時可能發生擁堵。如何在保證能獲取Layer1提供的安全性的同時獲得更高的效率成為了亟需解決的問題。

對于以太坊而言，zkRollup使用零知識證明算法作為底層構件，將原本需要在Layer1上執行的高昂的計算搬到鏈下，并向鏈上提供執行正確性的證明。該賽道主要有StarkWare、zkSync、Scroll以及FoxTech等項目。

事實上，在zkRollup的設計中，對于效率有很著高的要求：希望提交的證明值足夠的小，這樣可以減輕Layer1的計算量。而為了獲取足夠小的證明長度，各個zkRollup項目都在改進算法以及架構設計，例如Fox就結合了最新的零知識證明算法開發了自己的證明算法FOAKS，來獲得最優的證明時間和證明長度。

央行行長易綱 ：將繼續研究如何加強央行數字貨幣的風險管理:4月17日，財新舉辦主題為“金融科技與人民幣可自由使用”的研討會。中國人民銀行行長易綱在會上表示，央行數字貨幣項目已取得較大進展，當前階段在部分城市及部分場景進行內部封閉試點測試，同時表示“將繼續研究如何加強央行數字貨幣的風險管理，包括了解你的客戶(KYC)等。”

對于金融科技在此次疫情期間發揮的作用，易綱表示肯定，但也強調商業銀行依然是主力；科技公司積極參與有助于提升金融服務水平；人民幣國際化主要依靠市場驅動，平等競爭，中國會繼續推進金融開放和改革。[2020/5/4]

此外，在驗證證明的階段，最平凡的手段是線性的生成證明并依次驗證。為了提高效率，大家首先想到的是多個證明打包成一個證明，這也就是通常提到的證明聚合。

直觀來講，對于zkEVM生成的證明進行驗證是一個線性的過程，驗證者需要依次驗證每一個生成的證明值。但是這種驗證方式的效率比較低，通訊開銷也比較大，對于zkRollup的場景，更高的驗證者端的開銷就意味著更多的Layer1層的計算，也就會導致更高的Gasfee。

大咖零距離 | 開倉到平倉：合約趨勢交易的幾個關鍵環節如何把握？:2月6日18:00，金色盤面邀請實盤大V Homily做客金色財經《大咖零距離》直播間，將分享《開倉到平倉：合約趨勢交易的幾個關鍵環節如何把握》，敬請關注，欲進群觀看直播掃描海報二維碼報名即可！[2020/2/6]

我們先看一個例子：Alice想要向全世界證明自己在本月的1號至7號都去了Fox公園。為此，她可以分別在1號至7號的每一天都拿著當天的報紙在公園拍一張照片，這7張照片打包就成為一個證明。

圖1：一般意義的證明聚合方案

上面例子里把7張照片直接放入一個信封就是直觀意義上的證明聚合，這在實際情況中對應的是將不同證明連接在一起并依次線性驗證，即先驗證第一個證明，再驗證第二個證明以及隨后的證明。問題是這種做法既不會改變證明的大小，也不會改變證明的時間，與一個一個去證明并驗證的效果一樣。如果要實現對數級別的空間壓縮，那就要使用下面提到的遞歸證明。

聲音 | 微軟李國平：應用區塊鏈技術應多思考如何賦能、少談顛覆:據經濟觀察網12月6日消息，微軟中國金融行業總監李國平表示，第一，今天應用區塊鏈技術，應該多思考如何賦能，少談顛覆。他認為其實在從傳統業態向數字生活，數字經濟邁進的過程中，有很多行業場景存在痛點和短板，在整個信息化進程中如何補足現有實體經濟中的這些問題，賦能現有業務，提高效率，降低成本，是區塊鏈應用最應該思考的問題；第二，科技向善。今天的區塊鏈技術、人工智能技術等，公眾是存在認知差的。出現了認知差，就存在炒作的空間，就可能有泡沫，還包括新技術濫用數據等問題。因此在應用新的技術時，要在態度上端正，敬畏監管，敬畏客戶，敬畏可持續發展，這樣才能走的更遠，更穩；第三，從網絡效應原理來看，網絡是越大價值越大。從最早的局域網到以太網到現在整個互聯的世界，網絡的效應是需要擴大的。因此今天談公有鏈，鏈與鏈之間有沒有標準？全球有沒有標準？中國有沒有標準？很多企業資產能不能鏈互鏈？思考和解決這些問題，有助于區塊鏈的應用范圍和價值的擴大。[2019/12/7]

Halo2以及STARK所用證明遞歸方案

聲音 | 海爾集團董事局主席：如何利用區塊鏈改變企業未來:海爾集團董事局主席、首席執行官張瑞敏在近期參加的活動時提出：產品會被場景替代，行業將被生態覆蓋。海爾以區塊鏈為載體，以分布式賬本彼此間分享基于物聯網的數據資源，一方面不斷優化用戶體驗，一方面所有生態攸關方均得到增值，多方共贏。海爾依據自身優勢在區塊鏈領域展開了3個方向的探索：第一，以先發優勢，參與制定區塊鏈標準；第二，以延伸效應，賦能產業生態；第三，以區塊鏈思維，變革組織結構。（IT168）[2019/11/19]

為了更好的說明什么是遞歸證明，我們回到上面的例子。

Alice的7張照片實際上是7個證明。現在考慮將它們合并起來，于是Alice可以在1號拍好照片，在2號拿著這張照片和2號的報紙拍照片，在3號再拿著2號拍的照片和3號的報紙拍照片。以此類推，Alice在7號拿著6號的照片和7號的報紙拍下最后一張照片，而其他小伙伴在看到7號的這最后一張照片，就可以驗證在1～7號Alice都去了公園。可以看到，之前的七張證明照片，被壓縮成了一張。而在這個過程中的一個關鍵技巧，即是“包含照片的照片”，相當于將之前的照片以遞歸的形式嵌套進了之后的照片當中。這跟把很多照片放一起再拍個照片是不同的。

傳真格基金創始人徐小平呼吁各CEO了解區塊鏈 學習如何擁抱這場革命:據某互聯網知名博主爆料，真格基金創始人徐小平在真格基金投資組合微信群呼吁各CEO積極了解區塊鏈，并立即動員全體高管和員工，學習如何擁抱這場革命。[2018/1/9]

zkRollup的遞歸證明技巧可以大幅壓縮證明大小。具體來講，每一筆交易都會生成一個證明，我們設原始的交易計算電路為C0，P0為C0的正確性證明，V0為驗證P0的計算過程，證明者將V0也轉化為對應的電路，記作C0’。此時，對于另一筆交易的證明計算過程C1，就可以將C0’和C1的電路合并，這樣一來，一旦驗證了合并后的電路的正確性證明P1，就相當于同時驗證了以上兩筆交易的正確性，也就是實現了壓縮。

而回顧上述過程可以發現，其實壓縮的原理在于將驗證證明的過程又轉化為了電路，然后生成“對于證明的證明”，所以從這個角度來說，是一種可以不斷向下遞歸的操作，因此也被成為遞歸證明。

圖2：Halo2與Stark所使用的遞歸證明方案

Halo2與STARK所采用的ProofRecursion方案能夠并行生成證明，并將多個證明進行合并，使得驗證一個證明值的同時可以驗證多個交易執行的正確性，那就能夠壓縮計算的開銷，從而極大的提高系統的效率。

然而，這樣的優化仍然停留在具體的零知識證明算法之上的層次，為了進一步提高效率，我們需要更底層的優化和創新，Fox設計的FOAKS算法通過將遞歸的思想應用在一個證明的內部做到了這點。

FOAKS所使用的證明遞歸方案

FoxTech是一個zkEVM-based的zkRollup項目。在它的證明系統中，同樣使用遞歸證明的技巧，但是內涵與上述遞歸方式有不同之處，主要的區別是Fox是在一個證明的內部使用了遞歸(Recursion)的思想。為了表達出Fox所使用的遞歸證明的那種不斷將要證明的問題約化，直到約化后的問題足夠簡單的核心思想，我們需要再舉一個例子。

在上面的例子，Alice通過拍照證明自己在某天去了Fox公園，于是Bob提出了不同的建議，他認為證明Alice去過公園的問題可以被約化為證明Alice的手機去過了這個公園，而證明這件事又可以被約化為證明Alice手機的定位在公園的范圍里。因此，為了證明Alice去過這個公園，她只要在公園的時候用她的手機發送一個定位就行了。

如此一來證明的大小就從原本的一張相片(一個很高維的數據)變為一個3維的數據(經緯度和時間)，有效的節約了成本。這個例子并不完全恰當，因為也許有人會質疑Alice的手機到過Fox公園不代表Alice本人到過，但是在實際的情況中，這個約化過程是數學形式上嚴格的。

具體而言，Fox的遞歸證明的用法是在電路層面的遞歸。在進行零知識證明的時候，我們會將要證明的問題編寫成電路，接著通過電路計算出一些需要滿足的等式。而與其展示這些等式是滿足的，我們再次將這些等式編寫成電路，如此往復，直到最后要證明滿足的等式變得足夠簡單，我們便能輕松的直接證明了。

從這個過程當中我們可以看出，這么做更貼近“遞歸”的含義。值得一提的是不是所有算法都可以使用這個遞歸技術，假設每一次遞歸會將復雜度為O(n)的證明變為一個O(f(n))的證明，而這個遞歸過程本身的計算復雜度是O(g(n))，則遞歸一次后總計算復雜度就變為O1(n)=O(f(n))+O(g(n))，兩次后就是O2(n)=O(f(f(n)))+O(g(n))+O(g(f(n)))，三次后就是O3(n)=O(f(f(f(n))))+O(g(n))+O(g(f(n)))+O(g(f(f(n))))，...，以此類推。因此，只有在f和g兩個對應算法特性的函數滿足對某個k有Ok(n)<O(n)時，這樣的遞歸技術才能有效發揮作用。在Fox當中便有效的使用了這個遞歸技術壓縮證明復雜度。

圖3：ZK-FOAKS所使用的遞歸證明方案

結語

證明的復雜度一向是零知識證明應用中最重要的關鍵之一，證明復雜度這個性質隨待證明的事情越來越復雜會變得越來越重要，特別是在像zkEVM這樣的巨型ZK應用場景中，證明的復雜度會對產品的性能與用戶的體驗造成決定性的影響。而在眾多降低最終證明的復雜度的方法中，對核心算法的優化最為重要，Fox在最前沿算法的基礎上設計出了精妙絕倫的遞證明方案，并利用這項技術打造出最適合于zkEVM的ZK-FOAKS算法，有望成為zkRollup界的性能擔當。

參考文獻

https://blog.csdn.net/weixin_44383880/article/details/126338813

https://blog.csdn.net/freedomhero/article/details/126727033

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