ZKSwap團隊解讀零知識證明PLONK電路_CRS

最近研究了下零知識證明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，借此記錄學習成果與心得體會---ZkSwap小白。

現狀

近些年，各種新的零知識證明算法層出不出，各有各的特點，各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀。

從圖中可以簡單總結出以下幾點：

理論上安全性最高的是STARKs算法，不依賴數學難題假設，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述兩者之間；其他的這里不做過多闡述，如想了解零知識證明更多信息，可參考鏈接；對于SNARKs算法，繞不開的一個點就是中心化的TrustSetup，也稱之為CRS(theCommonReferenceString)。而無論是PGHR13,Groth16,還是GM17算法，它們的CRS都是一次性的，不可更新的。即：不同的問題將對應著不同的CRS，這在某些場景下，會變得比較麻煩。這些存在的問題，變了PLONK，SONIC這類算法的一個優勢，它們算法雖然也需要中心化的可信設置，但是它的CRS具有一定的普適性。即：只要電路的大小不超過CRS的上限閾值，一些證明問題就可以共用一個CRS，這種CRS稱之為SRS(universalStructuredReferenceString)，關于SRS的定義，詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想，但是在證明的效率上，做了很大的提升。接下來，讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節，主要從下面四個小節去分享：

觀點：BAYC NFT的地板價跌至近兩年新低，引發了對藏品價值的質疑:金色財經報道，專家表示，本周Bored Ape Yacht Club NFT的地板價跌至近兩年來的最低價格，引發了藏家對該藏品價值的質疑。但地板價只是用于評估NFT的一個指標，評估NFT的價值還有其他重要因素。與此同時，隨著創作者、平臺和收藏家繼續就此事發生爭執，本月NFT版稅支出有所下降。[2023/7/8 22:25:22]

電路的設計--描述PLONK算法的電路的描述思想；置換論證或者置換校驗--復制約束，證明電路中門之間的一致性；多項式承諾--高效的證明多項式等式的成立；PLONK協議--PLONK協議剖析；電路

PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直，具體的過程可以參考李星大牛的分享，已經寫的比較詳細且易懂。在這個小篇幅里，我想主要分享下我自己的兩點想法：

Hodlnaut聯創：出售業務要比破產清算更合適，正在與潛在投資者接洽:3月1日消息，加密貨幣借貸平臺Hodlnaut創始人Simon Lee發文表示，對于債權人而言，出售公司業務的方案相比破產清算來說要更合適，Hodlnaut的用戶群體可以直接被收購方旗下平臺接管。目前Simon Lee和Hodlnaut的另一位聯合創始人ZhuJuntao正就收購一事與潛在收購者進行接洽。

此前報道，今年1月，加密貨幣借貸平臺Hodlnaut的主要債權人拒絕了一項擬議的重組計劃，并傾向于清算該公司。2月有消息稱，已有潛在投資者表達了對收購Hodlnaut以及其對FTX的索賠權利的興趣，并聯系了Hodlnaut的臨時司法管理人。[2023/3/1 12:36:13]

無論是什么樣的電路描述方式，電路的滿足性問題都要歸結于2點，門的約束關系和門之間的約束關系成立；在SNARKs系列的算法里，電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元，具體的原理可以參考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，電路的描述單元都是以門為基本單元。這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法時，我們都已經相信一個事實，“多項式等式成立，就代表著每個門的約束成立”，然后推斷，整個電路邏輯都是成立；在這個過程中，并沒有額外的去證明門之間的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要證明多項式等式成立外，還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系，即復制約束。為何會有這樣的區別？希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題？我個人理解是因為電路的描述方式的不同：

戰略咨詢公司貝恩公司收購Web3數字產品工作室Umbrage:2月2日消息，戰略咨詢公司貝恩公司宣布收購 Web3 數字產品工作室 Umbrage，Umbrage 將與 Bain 的創新與設計服務密切合作，并在產品管理、UI/UX 設計、全棧開發、DevOps、QA 和 Web3 等領域額外的深厚技術專長。此舉將進一步為客戶提供端到端交付能力，以概念化、設計、構建和擴展下一層軟件驅動的業務模型和產品。

迄今為止，貝恩的數字交付平臺 Vector 團隊已為全球各行各業的 6700 多個數字項目提供建議，在高級分析、創新與設計、軟件工程和企業技術方面提供端到端的交付能力。[2023/2/2 11:43:00]

PLONK算法里，電路描述的單元是門，它為每個門定義了自己的L,R,O，因此需要證明門之間的一致性；SNARKs算法里，電路描述的單元是線，門與門之間的值用的是同一個witness，因此不用額外證明一致性；置換論證

歐盟警告馬斯克，推特可能因內容審核而面臨禁令:12月1日消息，歐盟威脅要對推特實施歐洲禁令，除非馬斯克遵守其嚴格的內容審核規則。據知情人士透露，歐盟負責執行集團數字規則的專員Thierry Breton周三與馬斯克的視頻會議上告訴馬斯克，他必須遵守一份規則清單，包括放棄恢復被禁用戶的“武斷”做法，“積極地”追查虛假信息，并同意在明年之前對該平臺進行“廣泛的獨立審計”。若不遵守這些規則，推特有可能違反歐盟新的《數字服務法》，可能面臨全歐洲范圍內的禁令或高達全球營業額6%的罰款。馬斯克此前曾表示，推特將遵守所有相關法律。[2022/12/1 21:13:59]

前面我們說過，在PLONK算法里，需要去證明門之間的約束關系成立。在做具體的原理解釋之前，我們先簡單的過一下PLONK協議的過程，如下圖所示：

可描述為：

美SEC主席：部分加密貨幣法案破壞了證券法規定:11月10日消息，美國證交會主席根斯勒表示，部分加密貨幣法案破壞了證券法規定，加密平臺不應該能夠自我認證。(金十)[2022/11/10 12:40:52]

根據電路生成三個多項式，分別代表這電路的左輸入，右輸入，輸出；利用置換校驗協議，去證明復制約束關系成立；步驟3和4，校驗門的約束關系成立。其中第1點已經在電路小節里闡述過了，接下來，將詳細的講解多項式置換校驗的原理。先從簡單的場景去講解：

單個多項式的置換校驗

其實就是證明對于某個多項式f，存在不同的兩個點x,y，滿足f(x)=f(y)。下面來看具體的原理：

上圖中加入了一個正例P，一個反例A，方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是：

而經過仔細剖析Z的形式，不難發現，Z(n+1)其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器？)。理論上是等于1。因此，我們需要設計這樣的一個多項式Z，需滿足：deg(Z)<nZ(n+1)=1

乘法循環群剛好可以滿足這個條件，如果設計一個階為n的一個乘法循環群H，根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在設計Z時，會保證Z(g)=1；上圖中的自變量的取值也將從{1...n}變成{g...g^n}。所以在上圖中驗證的部分，a其實已經換成了群H里的所有元素。根據論文中的協議，多項式Z是會發給可信第三方I驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值，然后依次校驗。下面具體看一下論文中的定義：

從定義中可以看出：多項式f,g在范圍內具有相同的值的集合；下面看一下論文中具體的協議部分，結合上述解釋的3點：

說明：圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式。其實只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。

跨多項式的校驗

其實就是證明對于某個多項式f，g，存在兩個點x,y，滿足f(x)=g(y)。與存在兩處不同：

多個多項式；不強制x,y的關系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小節的基礎，這次我們先看一下相關的定義：

從定義可以看到，這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出：

兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合；為了區分集合里的多項式，自變量的索引得區分開來；因此，可以想象的到，如果存在兩個多項式f,g，想要證明f(x)=g(y)，那么根據以上描述可以判斷{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。

下面我們看一下具體的原理：

和(1)小節相比，證明方P增加了些工作量，驗證方V工作量不變。結合上述描述，也能很容易的理解其數學原理。

說明：至此，其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了，前面我們講到，電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系。

比如一個輸入x，它既是一個乘法門的左輸入，又是另外一個乘法門的右輸入，這就需要去證明L(m)=R(n)，這就是跨多項式的置換校驗。

下面再給出論文里的協議內容：

至此，本篇文章已經描述了，在PLONK算法里，電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分，接下來，將會另起一片文章，去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。

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