ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Zk-stark——Arithmetization_ENT

前言

本系列的第一篇文章，以Zk-snark做對照，分別從概念和算法流程上，做了概括性的介紹。建議在閱讀本篇文章之前，先閱讀下第一篇文章的內容。本篇文章，讓我們由淺入深，一起踏上探索Zk-stark算法奧秘的旅途。

回顧

在第一篇的文章中講到，Zk-stark算法大體可以分為兩個部分：Arithmetization和LowDegreeTesting。本篇我們先詳細介紹算法的第一階段Arithmetization。Arithmetization的整體步驟如下圖所示：

那什么是Arithmetization？具體過程又是什么呢？帶著這些疑問，讓我們仔細的品味文章后面的內容。

首先，什么是Arithmetization？

Arithmetization就是把CIstatement轉化成正式的Algebraiclanguage的過程，此步驟有兩個目的：第一，把CIstatement以簡潔清晰的方式呈現出來；第二，把CIstatement嵌入到代數域，為后面多項式的轉換做鋪墊。Arithmetizationrepresentation主要由兩部分組成：第一，執行軌跡；第二，多項式約束。執行軌跡是一個表，表的每一行代表一個單步的運算；多項式約束的構造是和執行軌跡相輔相成的，即當前僅當執行軌跡是正確的，多項式約束會滿足執行軌跡的每一行計算。最后把執行軌跡和多項式約束結合組成一個確定的多項式，然后對多項式進行LDT驗證。至此，驗證CIstatement的問題轉換成了驗證確定性多項式LDT的問題。

RDNT短時突破0.32美元 日內漲幅達到13%:金色財經報道，行情顯示，RDNT短時突破0.32美元，現報0.3176美元，日內漲幅達到13%，行情波動較大，請做好風險控制。[2023/7/20 11:07:48]

Arithmetization

知道了Arithmetization的整體流程，接下來，我們討論下具體的過程。為了便于理解，我們用一個簡單的例子，來貫穿整個Arithmetization的過程。每個人都去過超市，一般超市的收據的內容如下：

現在，好萊塢人氣演員Bob聲稱："thetotalsumweshouldpayatthesupermarketwascomputedcorrectly"。那怎么驗證呢？其實很簡單，這時另一個氣人演員Alice只要對著收據，每一項累加求和就可以完成驗證。那么，這只是一個很簡單的例子，事實上，Alice只需要5步，就可以完成驗證過程。試想這樣一個場景：畢竟Bob很有錢，在超市買了1000000樣東西，同樣，他又聲稱："thetotalsumweshouldpayatthesupermarketwascomputedcorrectly"，這時候，Alice真的生氣了，這怎么驗證，按照之前的辦法，得大約要算1000000步，鬧呢？誰愛干誰干。Bob心里也心疼Alice，畢竟那么多年了。心想，有沒有什么牛掰的辦法能讓Alice用很少的步驟，就能確信我說的是對的呢？于是，Bob開動了最強大腦模式。下面，讓我們用上面簡單的例子，跟隨Bob去尋找這個牛掰的辦法。

BitNile擴大與Core Scientific合作，5月起運作1萬臺比特幣礦機:4月26日消息，多元化控股公司Ault Alliance, Inc.宣布擴大其全資子公司BitNile, Inc.與高性能區塊鏈計算數據中心和軟件解決方案提供商Core Scientific, Inc.之間的戰略合作。

該公司上個月宣布，從2023年4月開始，BitNile將在Core Scientific的現有設施中運作3000臺S19j Pro礦機。現在BitNile和Core Scientific修改了協議，即從2023年5月1日開始，BNI將與Core Scientific一起運營10000臺S19j Pro礦機。這將使BitNile在Core Scientific的設施中運行大約30兆瓦的電力容量。（Business Wire）[2023/4/26 14:28:34]

Bob心想，你不就是驗證最終的總和對不對么？那我就把總和的計算過程列出來，我保證每次的累加都對，那么我最終的結果一定也是對的。于是Bob在收據上新增了一列，用來保存計算總和過程中的中間值，這就是執行軌跡。新增的一列值需要滿足，初始化的值為0、最終的值和要付的總和相等、中間的每一個值都要等于上一個值加上上一行物品的單價，這構成了多項式約束。從圖2可以看出：

外媒：SBF在巴哈馬監獄中獲得“優待”:12月22日消息，據外媒報道，前FTX首席執行官Sam Bankman-Fried（SBF）在巴哈馬福克斯山監獄中一直被關押在醫務室，與其他囚犯不同，他可以獲得自來水，甚至還有廁所，以及其他福利。據不愿透露姓名的監獄官員說，SBF整天都在看電視新聞和閱讀有關自己的文章。

在福克斯山監獄，SBF與其他四名男子共用一間病房。他們都有帆布床，這在監獄里是一種奢侈，囚犯們抱怨說他們被迫睡在光禿禿的地面上，或者睡在老鼠出沒的牢房里的臨時紙板床上。按照標準程序，那些被限制在醫療單位的人不允許出去鍛煉，SBF大部分時間都在帆布床上度過。盡管他最初表示他會反對引渡，但SBF上周晚些時候開始表示他準備返回美國。據一位直接了解此事的人士透露，SBF態度的轉變部分與他能夠在美國獲得保釋的預期有關。

此前今日早些時候消息，SBF已抵達巴哈馬機場接受美國引渡。（彭博社）[2022/12/22 22:00:42]

多項式約束總共有3個，兩個是邊界約束，一個是循環約束；多項式的大小和執行軌跡的答案小沒有關系，即表格的長度即使擴大到1000000，最終的多項式約束仍是這三個，唯一變化的是變量x的取值范圍而已。在這里，借用V神的話來描述一下Zk-stark：Zk-Stark不是一個確定性的算法，它是一大類密碼??數學結構，對于不同的應用，具有不同的最優設置。可以理解為，對于不同的問題，具有不同的算術化的方案，因此要做到具體問題具體分析。但是有一個共同目標就是，無論是什么問題，得到的執行軌跡最好是用一個LOOP就可以表示，這樣得到的多項式約束也就最為簡潔。多項式約束的個數和形式直接影響到了proof的大小和Zk-stark算法的性能，因此，尋找一個最優的設置對于Zk-stark算法顯得尤為重要。回歸到主題，現在Bob已經得到了多項式約束和執行軌跡，那么如何把它們轉換成一個確定的多項式呢？請看下圖：

Coin98 Labs宣布已收購鏈游CyBall:12月8日消息，Coin98 Labs宣布已收購鏈游CyBall，進一步進入Web3游戲，將對其注入新的資金和資源。

此前消息，CyBall融資180萬美元，Bitkraft Ventures領投。[2022/12/8 21:31:53]

Bob首先把關注點切到執行軌跡，可以看到執行軌跡有2列，一列是單項價格，一列是價格總和，我們分別對兩列的元素進行拉格朗日插值，得到兩個函數f(x),w(x)，0≤x≤5。分別對兩個函數進行域擴展，得到了在更多的點上的評估，即f(x)，w(x)，0≤x≤10000。

然后，Bob把f(x)，w(x)和多項式約束等式結合，得到一組確切的多項式約束(圖中紅色圈2所示)，以循環約束多項式為例：

1≤x≤5w(x)-f(x-1)-w(x-1)=0(1)

令Q(x)=w(x)-f(x-1)-w(x-1)，則有Q(1)=0、Q(2)=0、Q(3)=0、Q(4)=0、Q(5)=0。

BTC盈利地址數達3個月高點:金色財經消息，據Glassnode數據顯示，BTC盈利地址數達3個月高點，7日均值數額為26,591,272.173。[2022/8/15 12:25:14]

根據已知事實，度為d的多項式H(x)在x=n處為0，則存在一個度為d-1的多項式H(x),滿足d(H(x))=d(H(x))-1&&H(x)=H`(x)*(x-n)

因此對于Q(x)，度為5，存在一個多項式Ψ(x)，度為0，即常量，滿足Q(x)=Ψ(x)*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，令目標多項式T(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，度為5，則有：

Q(x)=Ψ(x)*T(x)(2)

驗證者Alice從0≤x≤10000隨機選擇一點a，發送給證明者Bob，要求Bob返回相應的值，以公式(2)為例，Bob需要返回w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)，然后Alice判斷等式是否成立，即：

w(a)-f(a-1)-w(a-1)=Ψ(a)*T(a)(3)

如果等式成立，則Alice大概率相信執行軌跡是正確的，那么原始計算成立。假如驗證者Bob作惡，講表格中的4.98改成5.98把，那么Q(1)=w(1)-w(0)-f(0)=5.98-0-4.98=1，不等于0。在這種情況下，觀察公式(2)，等式右邊為Q(x)，度為5，x=1不是零點；等式右側Ψ(x)*T(x)，令G(x)=Ψ(x)*T(x)，度為5，因為T(x)在x=1處是零點，所以G(x)在x=1處也是0點，因此，等式兩邊實際上是度相等的不同多項式，其交點最多為5個，因此在0≤x≤10000范圍內，只有5個值相等，9995值是不等的，因此隨機的從0≤x≤10000中選擇一個值，驗證不通過的概率是99.95%，如果域擴展的范圍更大，則驗證不通過的概率將會更接近于1。按照同樣的邏輯，分別處理邊界約束多項式，得到的結果如圖所示。

下面，我們講討論如何增加零知識屬性。

對于證明者Bob來講，執行軌跡是不希望被驗證者Alice看到的，因為它會包含一些重要的信息，因此，限定驗證者Alice只能從6≤x≤10000范圍內隨機選擇一個值，進行驗證，當然這種限定，雙方都是同意的。

存在這樣一類問題。當驗證者Alice收到證明者Bob反饋的值時，如何保證這些值是合法的，確實是通過多項式的形式計算，并且這些多項式是小于某個度的，而不是證明者Bob僅僅為了驗證通過，而生成的隨機值？比如如何確保w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)是多項式w(x)、f(x)、Ψ(x)分別在x=a&&x=a-1上的取值呢，且多項式w(x)、f(x)、Ψ(x)的度小于某個固定值的呢？這些問題將在下一篇文章中給出答案，在此之前，不如先討論一下，為何多項式的度小于某個固定值就能證明原始執行軌跡式正確的呢？

從以上的例子中，可以看出，當且僅當執行軌跡是正確的時候，Q(x)才會在x取值為1、2、3、4、5時，等于0。那么Q(x)才可以被目標多項式T(x)整除，即：Ψ(x)=Q(x)/T(x)，d(Ψ(x))=d(Q(x))-5。

從圖3可以看出，需要驗證的多項式的個數時5個(紅色圈4所示)，如果對每一個多項式都進行LDT，那么消耗是很巨大的，因此，可以通過將這些多項式進行線性組合(紅色圈5所示)，當且僅當每個多項式都滿足小于某個度時，其線性組合后的多項式也是小于某個度的，這個條件時充分的，具體的細節見后續的系列章節。

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